似然函數是什麼意思

統計學中，似然函數是一種關於統計模型參數的函數。給定輸出x時，關於參數θ的似然函數L(θ|x)（在數值上）等於給定參數θ後變量X的概率：L(θ|x)=P(X=x|θ)。

似然函數在推斷統計學（Statistical inference）中扮演重要角色，尤其是在參數估計方法中。在教科書中，似然常常被用作“概率”的同義詞。但是在統計學中，二者有截然不同的用法。概率描述了已知參數時的隨機變量的輸出結果；似然則用來描述已知隨機變量輸出結果時，未知參數的可能取值。例如，對於“一枚正反對稱的硬幣上拋十次”這種事件，我們可以問硬幣落地時十次都是正面向上的“概率”是多少；而對於“一枚硬幣上拋十次”，我們則可以問，這枚硬幣正反面對稱的“似然”程度是多少。

分佈類型

離散型概率分佈

假定一個關於參數θ、具有離散型概率分佈P的隨機變量X，則在給定X的輸出x時，參數θ的似然函數可表示為

其中，

表示X取x時的概率。上式常常寫為

或者

。需要注意的是，此處並非條件概率，因為θ不（總）是隨機變量。

連續型概率分佈

假定一個關於參數θ、具有連續概率密度函數f的隨機變量X，則在給定X的輸出x時，參數θ的似然函數可表示為

上式常常寫為

，同樣需要注意的是，此處並非條件概率密度函數。

似然函數的主要用法在於比較它相對取值，雖然這個數值本身不具備任何含義。例如，考慮一組樣本，當其輸出固定時，這組樣本的某個未知參數往往會傾向於等於某個特定值，而不是隨便的其他數，此時，似然函數是最大化的。

似然函數乘以一個正的常數之後仍然是似然函數，其取值並不需要滿足歸一化條件

似然函數的這種特性還允許我們疊加計算一組具備相同含義的參數的獨立同分布樣本的似然函數。

關於利用似然函數進行統計推斷的應用，可以參考最大似然估計（Maximum likelihood estimation）方法和似然比檢驗（Likelihood-ratio testing）方法。