函數及其表示

判斷一個對應關係是否是函數關係，就看這個對應關係是否滿足函數定義中“定義域內的任意一個自變量的值都有唯一確定的函數值”這個核心點。

(1)函數的定義域、值域

在函數y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值範圍A叫做函數的定義域，與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．

(2)構成函數的三要素

函數的三要素為定義域、值域、對應關係.

(3)函數的表示方法

函數的表示方法有三種：解析法、列表法、圖象法.

解析法：一般情況下，必須註明函數的定義域；

列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特徵；

圖象法：注意定義域對圖象的影響。



高一數學必修一函數及其表示知識點

高一數學必修一函數及其表示知識點 篇1

高一數學必修一函數及其表示：

函數及其表示

知識點詳解文檔包含函數的概念、映射、函數關係的判斷原則、函數區間、函數的三要素、函數的定義域、求具體或抽象數值的函數值、求函數值域、函數的表示方法等

文檔首頁截圖如下：

1。函數與映射的區別：

2。求函數定義域

常見的用解析式表示的函數f（x）的定義域可以歸納如下：

①當f（x）為整式時，函數的定義域為R。

②當f（x）為分式時，函數的定義域為使分式分母不為零的實數集合。

③當f（x）為偶次根式時，函數的定義域是使被開方數不小於0的實數集合。

④當f（x）為對數式時，函數的定義域是使真數為正、底數為正且不為1的實數集合。

⑤如果f（x）是由幾個部分的數學式子構成的，那麼函數定義域是使各部分式子都有意義的實數集合，即求各部分有意義的實數集合的交集。

⑥複合函數的定義域是複合的各基本的函數定義域的交集。

⑦對於由實際問題的背景確定的函數，其定義域除上述外，還要受實際問題的制約。

3。求函數值域

（1）、觀察法：通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域；

（2）、配方法；如果一個函數是二次函數或者經過換元可以寫成二次函數的形式，那麼將這個函數的右邊配方，通過自變量的範圍可以求出該函數的值域；

（3）、判別式法：

（4）、數形結合法；通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域；

（5）、換元法；以新變量代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變量為自變量的函數形式，進而求出值域；

（6）、利用函數的單調性；如果函數在給出的定義域區間上是嚴格單調的，那麼就可以利用端點的函數值來求出值域；

（7）、利用基本不等式：對於一些特殊的分式函數、高於二次的函數可以利用重要不等式求出函數的值域；

（8）、最值法：對於閉區間[a，b]上的連續函數y=f（x），可求出y=f（x）在區間[a，b]內的極值，並與邊界值f（a）。f（b）作比較，求出函數的最值，可得到函數y的值域；

（9）、反函數法：如果函數在其定義域內存在反函數，那麼求函數的值域可以轉化為求反函數的定義域。

高一數學必修一函數及其表示知識點 篇2

知識點總結

本節知識包括函數的單調性、函數的奇偶性、函數的週期性、函數的最值、函數的對稱性和函數的'圖象等知識點。函數的單調性、函數的奇偶性、函數的週期性、函數的最值、函數的對稱性是學習函數的圖象的基礎，函數的圖象是它們的綜合。所以理解了前面的幾個知識點，函數的圖象就迎刃而解了。

一、函數的單調性

1、函數單調性的定義

2、函數單調性的判斷和證明：

（1）定義法

（2）複合函數分析法

（3）導數證明法

（4）圖象法

二、函數的奇偶性和週期性

1、函數的奇偶性和週期性的定義

2、函數的奇偶性的判定和證明方法

3、函數的週期性的判定方法

三、函數的圖象

1、函數圖象的作法

（1）描點法

（2）圖象變換法

2、圖象變換包括圖象：平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換。

常見考法

本節是段考和大學聯考必不可少的考查內容，是段考和大學聯考考查的重點和難點。選擇題、填空題和解答題都有，並且題目難度較大。在解答題中，它可以和高中數學的每一章聯合考查，多屬於拔高題。多考查函數的單調性、最值和圖象等。

誤區提醒

1、求函數的單調區間，必須先求函數的定義域，即遵循“函數問題定義域優先的原則”。

2、單調區間必須用區間來表示，不能用集合或不等式，單調區間一般寫成開區間，不必考慮端點問題。

3、在多個單調區間之間不能用“或”和“ ”連接，只能用逗號隔開。

4、判斷函數的奇偶性，首先必須考慮函數的定義域，如果函數的定義域不關於原點對稱，則函數一定是非奇非偶函數。

5、作函數的圖象，一般是首先化簡解析式，然後確定用描點法或圖象變換法作函數的圖象。

國中數學系列知識點

1、相反數：只有符號不同的兩個數，我們説其中一個是另一個的相反數，也稱為這兩個數互為相反數。0的相反數是0。用數學語言表述為：若a、b互為相反數，則a+b=0即 ，反之也成立。數a的相反數是-a。

2、倒數：若a、b（a、b均不為0）互為倒數，則ab=1即 ，反之也成立。a的倒數是 。0沒有倒數，1和-1的倒數是它們本身。

3、有理數和無理數統稱為實數。實數分為有理數和無理數，也可分為正實數、0、負實數。實數與數軸上的點一一對應。

4、有理數分為正有理數、0、負有理數，它們均是有限小數或無限循環小數；也可分為整數和分數，整數又分為正整數、0、負整數；分數又分為正分數、負分數。無理數分為正無理數和負無理數，它們都是無限不循環小數。

5、π是無理數， 是分數是小數是有理數，0是自然數。

6、絕對值的幾何定義：在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做該數的絕對值，數a的絕對值記為“|a|”。代數定義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0。於是，|a|=a ；|a|=-a a≤0。

7、任何一個實數的絕對值都是非負數，即|a|≥0。

或 ，或

8、若|x|=a(a≥0)，則x=±a，即絕對值的原數的雙值性。

9、數軸上兩點A（ ）、B（ ）之間的距離為|AB|=| - |，其中點所表示的數為 。座標平面內兩點A（ ， ）、B（ ， ）的距離為：|AB|= ，中點C的座標為（ ， ），點A到x軸的距離為| |，到y軸的距離為| |，到原點的距離為 ，如果 = 且 ≠ ，則直線AB平行於y軸；如果 = 且 ≠ ，則直線AB平行於x軸。

10、科學記數法：把一個數寫成±a×10n的形式（其中1≤a<10，n是整數）這種記數法叫做科學記數法。記數的方法：（1）確定a；a是隻有一位整數數位的數；（2）確定n；當原數≥1時，n等於原數的整數位數減1；當原數<1時，n是負整數，它的絕對值等於原數中左起第一個非零數字前零的個數（含整數位上的零）。

11、近似數：按某種接近程度由四捨五入得到的數或大約估計數叫做近似數。一般地，一個近似數四捨五入到哪一位，就説這個近似數精確到哪一位。一個數的近似數，常常要用科學記數法來表示。

12、有效數字：一個近似數，從左邊第一個不是零的數字起，到精確到的位數止，所有的數字都叫做這個數的有效數字。精確度的形式有兩種：（1）精確到哪一位數；（2）保留幾個有效數字。近似數非零數之間的0和尾巴上的0都是有效數字。

13、實數大小的比較：在數軸上表示的兩個數，右邊總比左邊的大；正數大於零；負數小於零；正數大於一切負數；兩個負數，絕對值大的反而小。

14、實數加法法則：（1）同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加；（2）異號兩數相加，絕對值相等時，和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值。

15、加法交換律a+b=b+a；加法結合律(a+b)+c=a+(b+c)

16、減去一個數，等於加上這個數的相反數；即a-b= a +（- b）

17、減法運算的步驟：（1）將減號變成加號，把減數的相反數變成加數；（2）按照加減運算的步驟進行運算。

18、兩數相乘，同號得正，異號得負，並把絕對值相乘。實數乘法與加法運算步驟一樣，第一步確定符號，第二步確定絕對值。零乘以任何數都得0。

19、乘法交換律ab=ba；乘法結合律(ab)c=a(bc)；乘法分配律a(b+c)=ab+ac

20、兩數相除，同號得正，異號得負，並把絕對值相除；0除以任何一個不等於0的數，都得0；除以一個數等於乘以這個數的倒數，即a÷ b=a•(b≠0)

21、乘方運算的性質：（1）正數的任何次冪都是正數；（2）負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；（3）任何數的偶次冪都是非負數；（4）-1的偶次冪是1，-1的奇次冪是-1；（5）1的任何次冪都是1，0的任何非零次冪都是0；（6）負整數指數冪（7）零指數冪

22、列代數式及代數式的求值：用運算符號把數與表示數的字母連接而成的式子，叫做代數式，單獨一個數或一個字母也是代數式；代數式分為有理式、無理式，有理式又分為整式、分式，整式分為單項式、多項式。列代數式時，要注意問題的語言敍述所直接或間接表示的運算順序。一般來説，先讀的先寫；要正確使用表明運算順序的括號；列代數式時，出現乘法時，通常省略乘號，數與字母相乘，要將數寫在字母前面；帶分數要化成假分數，然後再與字母相乘；數字與數字相乘仍用“×”號：出現除法運算時，一般按分數的寫法來寫。代數式的求值是用代數值代替代數式裏的字母，按照代數式指明的運算順序計算出結果。列代數式時，如果代數式後跟單位，應該將含有加減運算的代數式用括號括起來。

23、同類項：所含字母相同，並且相同字母的指數也相同的項叫做同類項，把同類項合併成一項就叫做合併同類項。合併同類項的法則就是字母及字母的指數不變，係數相加。同類項與係數的大小沒有關係。

24、單項式：數與字母的乘積的代數式叫做單項式，單項式中的數字因數叫做單項式的係數，一個單項式中，所有字母的指數和叫做這個單項式的次數。單獨一個數或一個字母也是單項式。單獨一個非零數的次數是0。

25、多項式：幾個單項式的和叫做多項式。在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數項，一個多項式中，次數最高的項的次數，叫做這個多項式的次數，單項式和多項式統稱為整式。

26、π是數，是一個具體的數，而不是一個字母。0是單項式，也是整式。

27、整式的加減法則：整式的加減實質上是合併同類項。幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用加減號連接起來，一般步驟是：（1）如果遇到括號，按去括號法則先去括號；（2）合併同類項。

28、同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加，即am•an=am+n(m、n都是正整數)

29、冪的乘方與積的乘方法則：冪的乘方，底數不變，指數相乘，即（am）n =amn(m、n都是正整數)；積的乘方，等於把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪的相乘，即（ab）n =ambn(n是正整數)

30、單項式與單項式相乘，把它們的係數、相同字母的冪分別相乘，其餘字母連同它的指數不變，作為積的因式。單項式與多項式相乘，就是根據分配律用單項式去乘以多項式的每一個項，再把所得的積相加，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

31、平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2

32、完全平方式：a2±2ab+b2，特別注意交叉項的正負性和2倍。(a+b)2=(a-b)2+4ab

33、同底數冪的除法法則：同底數冪相除，底數不變，指數相減，即am÷an=am-n(a≠0，m、n都是正整數，m>n)

34、零次冪、負整數次冪的意義：a0=1(a≠0)；a-p=(a≠0，p是正整數)

35、單項式除以單項式：單項式相除，把係數、同底數冪分別相除，作為商的因式，對於只在被除式裏含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。

36、多項式除以單項式：一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。

37、應該注意整式乘法與除法中的符號運算。

38、把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式，多項式的因式分解常用的方法有：提取公因式法、公式法。

39、分解因式的公式：平方差公式： a2-b2= (a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab+b2= (a±b)2

40、分解因式的一般步驟：提公因式；二項考慮平方差公式，三項的考慮完全平方公式或十字相乘法；四項及以上考慮分組分解法。有時得用換元法（整體考慮）或者比較係數法。

41、幾個整式相乘，所有最高次項相乘得最高次項，最低次項相乘得最低次項。

42、分式：如果除式B中含有字母，那麼稱 為分式。當B=0時，分式無意義；當A＝0且B≠0時，分式的值為0；當B≠0時，分式有意義。

43、分式的基本性質：分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等於零的整式，分式的值不變，即 。

44、分式的乘除法：兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母；兩個分式相除，把除式的分子與分母顛倒位置後現與被除式相乘。即 。

45、約分：把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形叫做分式的約分。

46、分子、分母和分式三個符號的同時改變兩個，其結果不變，分數線有時起着括號的作用，即 。

47、分式的加減法：同分母的加減，分母不變，把分子相加加減；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然後再按同分母分式的加減法法則進行計算。即 。

48、分式的乘方：

49、混合運算：先乘方，再乘除，最後加減，有括號的先算括號裏面的。

50、解分式方程的一般步驟：去分母，將分式方程化為整式方程；解這個整式方程；驗根，把整式方程的根代入最簡公分母，若值不為0，則是原方程的根，若值為0，則是原方程的增根，捨去。

51、分式方程的應用：分式方程應用題與一元方程應用題類似，不同的是注意雙檢驗：（1）檢驗所求的解是不是原方程的解；（2）檢驗所求的解是否符合題意。注意已知增根，求待定字母的取值。

52、分式方程有解的條件為：去分母后的整式方程有解；去分母后的整式方程的解不能都為增根。

53、當結果中含有根式時，一定要化成最簡根式。

54、二次根式的相關概念：（1）平方根和算術平方根。一般地，如果一個正數x的平方等於a，即x2=a，那麼這個正數x就叫做a的算術平方根，記為 ，我們規定0的算術平方根是0，即 。如果一個數x的平方等於a，即x2=a，那麼這個數x就叫做a的平方根（也叫二次方根），記為± 。一個正數有兩個平方根；0只有一個平方根，它是0本身；負數沒有平方根。求一個數a的平方根的運算，叫做開平方。（2）立方根。如果一個數x的立方等於a，即x3=a，那麼這個數x就叫做a的立方根。正數的立方根是正數；0的立方根是0；負數的立方根是負數。

55、一個正數正的平方根叫做它的算術平方根。

56、最簡二次根式：被開方數的因數都是整數，因式都是整式；被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。

57、二次根式的化簡：

； ；

58、二次根式的計算： ； ；

59、二次根式的加減法主要是把根式化成最簡二次根式後合併同類二次根式。幾個二次根式化成最簡二次根式後，如果被開方數相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式。兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不再含有二次根式，稱這兩個二次根式互為有理化因式。把分母中的根號化去，叫做分母有理化。

60、兩個式子比較大小的方法有：直接比較法、求差比較法、求商比較法、中間量傳遞；另外還有指數形式往往把底數或指數化為相同；二次根式還有分母有理化或分子有理化；

61、方程（組）及解的概念：含有未知數的等式叫做方程。在一個方程中，只含有一個未知數x（元），並且未知數的指數是1（次），這樣的方程叫做一元一次方程，其標準形式為 。使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫做方程的解。含有兩個未知數，並且所含未知數的的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程。含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。只含有一個未知數的整式方程，並且未知數最高次數是2的方程叫做一元二次方程，其一般形式為 。

62、方程或方程組的解法：（1）等式的性質：等式的兩邊同時加上（或減去）同一個代數式（或除以同一個不為0的數），所得結果仍是等式。（2）一元一次方程的解：一般要通過去分母、去括號、移項、合併同類項、未知數的係數化為1，把一個一元一次方程“轉化”成x=a的形式。（3）二元一次方程組的解法：解方程組的基本思路是“消元”——把“二元”變為“一元”。主要方法有代入消元法和加減消元法。其中代入消元法常用步驟是：要消哪一個字母，就用含其它字母的代數式表示出這個字母，然後用表示這個字母的代數式代替另外的方程中的這個字母即可。（4）一元二次方程的解法有配方法、公式法、分解因式法。（5）一元二次方程的判別式 。當 >0時 有兩個不相等的實數根；當 =0時 有兩個相等的實數根；當 <0時 沒有實數根。（6）若 、 是的兩實數根，則有 ， 。（7）對於一元二次方程， 方程有一個根為0； 方程有一個根為1； 方程有一個根為-1；

63、關於方程 ，（1）當 時，方程有唯一解 ；（2）當a=0， 0時，方程無解；（3）當a=0，b=0時，方程的解為全體實數。

64、關於方程組 ，（1）當 時方程組有唯一解；（2）當 時方程組無解；（3）當 時方程組有無數組實數解。

65、用公式法解一元二次方程時，首先要將一元二次方程化為一般形式，找出a,b,c的值，即先計算判別式 ，再用求根公式 ；用配方法解一元二次方程時，先將方程二次項係數化為1，然後兩邊同時加上“一次項係數一半的平方”。特別注意別漏掉一個根。注意換元法的使用。

66、一元二次方程的近似解的求法，實質是利用夾逼方法進行求解的。

67、列方程、方程組解應用題的一般步驟是：審題；設未知數；列方程或方程組；解方程或方程組；檢驗並寫出答案。審題是基礎，找出等量關係，建立方程（組）模型是關鍵。

68、利潤率= = ；打a折，即降價為原來的 。

69、降次的常用方法是：直接開方降次、分解因式降次，代入降次。

70、不等式的性質：（1）基本性質1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，不等號的方向不變；（2）基本性質2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；（3）基本性質3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向要改變。

71、不等式和不等式組的解法：（1）能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解，求不等式的解集的過程叫做解不等式；（2）一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。記住多畫畫數軸。

72、求一元一次不等式（組）的整數解的步驟：（1）求出一元一次不等式（組）的解集；（2）找出合適解集範圍的整數解、非負數解、正整數解或負整數解。

73、已知不等式組的解集，確定不等式中的字母的取值範圍，有以下四種方法：（1）逆用不等式組解；（2）分類討論確定；（3）從反而求解確定；（4）藉助數軸確定。

74、一次函數 ，當函數值y>0或y<0時，一次函數轉化成不等式，利用函數圖象、確定函數值和自變量的取值範圍。

75、在平面內確定一個點的位置，通常需要兩個量，這兩個量可以是兩個數，也可以是一個角度、一個數。平面內，確定物體位置的的方法主要有兩類：（1）定點的位置：①線線相交，用交點的唯一性位置；②方位角+距離：以某一點為觀察點，用方位角、目標到達這個點的距離這兩個數據來確定目標的位置。（2）定區域的位置。

76、平面直角座標系點的座標特徵：（1）平面直角座標系有關概念；（2）點的座標特徵：x軸上的點，縱座標為零，y軸上的點，橫座標為零。即表示為（a,0）、（0,b）。第一象限點（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）；（3）對稱點的座標：P(a,b)關於x軸，y軸和原點的對稱點分別為(a,-b),(-a,b),(-a,-b)；P(a,b)關於y=x，y=-x對稱的點的座標為((b,a),(-b,-a)；P(a,b)關於y=y0，x=x0對稱的點的座標為((a,2y0-b),(2x0-a,b)；（4）象限角平分線上的點的特徵：第一、三象限角平分線上的點的特徵是（a,a）（直線解析式為y=x）；第二、四象限角平分線上的點的特徵是（-a,a）或(a,-a)。

77、圖形的變化：

變化前的點座標(x,y)座標變化變化後的點座標圖形變化

平移橫座標不變，縱座標加上（或減去）n（n>0）個單位長度(x,y+n)或(x,y-n)圖形向上（或向下）平移了n個單位長度

縱座標不變，橫座標加上（或減去）n（n>0）個單位長度(x+n,y)或(x-n,y)圖形向右（或向左）平移了n個單位長度

伸長橫座標不變，縱座標擴大n（n>1）倍(x,ny)圖形被縱向拉長為原來的n倍

縱座標不變，橫座標擴大n（n>1）倍(nx,y)圖形被橫向拉長為原來的n倍

壓縮橫座標不變，縱座標縮小n（n>1）倍(x, )

圖形被縱向縮短為原來的

縱座標不變，橫座標縮小n（n>1）倍( ,y)

圖形被橫向縮短為原來的

放大橫縱座標同時擴大n（n>1）倍(nx ,ny)圖形變為原來的n2倍

縮小橫縱座標同時縮小n（n>1）倍( , )

圖形變為原來的

78、求與幾何圖形聯繫的特殊點的座標，往往是向x軸或y軸引垂線，轉化為求線段的長，再根據點所在的象限，醒上相應的符號。求座標分兩種情況：（1）求交點，如直線與直線的交點；（2）求距離，再將距離換算成座標，通常作x軸或y軸的垂線，再解直角三角形。

79、一般地，在某一個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個x值，相應奪就確定了一個y值，那麼我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量。函數的表示法有三種：解析法、圖象法、列表法。

80、把一個函數關係式的自變量x與對應的因變量y的值分別作為點的橫座標和縱座標，在平面座標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象。即：若點P(x,y)的座標滿足函數關係式，則點P在函數圖象上；反之，若點P在函數圖象上，則P(x,y)的座標滿足函數關係式。描點法畫函數圖象的步驟：列表、描點、連線。

81、要使函數關係式有意義：

函數關係式形式自變量取值範圍

整式函數全體實數

分式函數使分母不為零

根式函數偶次根式使被開方數非負

奇次根式全體實數

零指數、負指數形式函數使底數不為零

82、正比例函數與一次函數的概念：（1）一次函數：形如 （k≠0，k，b是常數）的函數叫做一次函數。（2）正比例函數：形如，k是常數）的函數叫做正比例函數。（3）正比例函數與一次函數的關係：正比例函數是一次函數的特殊情形。

83、一次函數的圖象和性質：（1）圖象：一次函數的圖象是過點（ ，0），（0，b）的一條直線，正比例函數的圖象是過點（0，0），（1，k）的直線；|k|越大，（1，k）就越遠離x軸，直線與x軸的夾角越大；|k|越小，（1，k）就離x軸越近，直線與x軸的夾角越小；（2）性質：k>0時，y隨x增大而增大；k<0時，y隨x增大而減小；（3）圖象跨越的象限：①k>0,b>0經過一、二、三象限；②k<0,b>0經過一、二、四象限；③k>0,b<0經過一、三、四象限；④k<0,b<0經過二、三、四象限。即k>0，一三；k<0，二四；b>0，一二；b<0，三四。（4）直線 和 的位置關係為： ； 相交於y軸上；

b>0b=0b<0增減性

k>0 y隨着x增大而增大

k<0 y隨着x增大而減小

84、用割補法求面積，基本思想是全面積等於各部分面積之和，在割補時需要注意：儘可能使分割出的三角形的邊有一條在座標軸上，這樣表示面積較為方便。座標平面內圖形面積算法：把圖形分割或補為底邊在座標軸或平行於座標軸的直線上的三角形、梯形等。

85、求函數的解析式往往運用待定係數法，待定係數法的步驟：（1）設出含待定係數的函數解析式；（2）由已知條件得出關於待定係數的方程（組），解這個方程（組）；（3）把係數代回解析式。

86、仔細體會一次函數與一元一次方程及一元一次不等式之間的內在聯繫：（1）一元一次方程kx+b=y0(y0是已知數)的解就是直線 上，y=y0這點的橫座標；（2）一元一次不等式y1≤kx+b≤y2(y1,y2是已知數，且y1<y2)的解集就是直線 上滿足y1≤y≤y2那條線段所對應的自變量的取值範圍。（3）一元一次不等式kx+b≤y0（或kx+b≥y0）（y0是已知數）的解集就是直線 上滿足y≤y0（或y≥y0）那條線段所對應的自變量的取值範圍。

87、反比例函數的定義及解析式求法：（1）定義：形如 （k≠0，k是常數）的函數叫做反比例函數，其自變量取值範圍是x≠0；（2）解析式求法：應用待定係數法求k值，由於k=xy，故只需要已知函數圖象上一點，即求出函數的解析式。

88、反比例函數的圖象和性質：（1）圖象：反比例函數的圖象是雙曲線，當k>0時，雙曲線的兩個分支在第一、三象限；當k<0時，雙曲線的兩個分支在第二、四象限。（2）性質：當k>0時，在每一象限內，y隨x的增大而減小；當k<0時，在每一象限內，y隨x的增大而增大；圖象是關於原點對稱的中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，其對稱軸為y=x，y=-x。

89、正、反比例函數圖象及性質對比：

k值

函數性質k>0k<0

（k≠0）

圖象

性質y隨着x增大而增大y隨着x增大而減小

（k≠0）

圖象

性質y隨着x增大而減小y隨着x增大而增大

90、（1）利潤最大、費用最低等一類問題，往往可通過建立函數模型進行解決；（2）運輸等問題可採用列表或畫圖的方法來分析其數據間的關係，這樣易於理清錯綜複雜的數據，對解題有極大的幫助；（3）方案設計問題，往往先建立不等式，轉化為求不等式的整數解的問題。

91、二次函數的定義和解析式求法：（1）形如 （a、b、c為常數，a≠0）的函數叫二次函數；（2）用待定係數法求二次函數解析式，其解析式有三種形式。一般式： ，主要用於已知拋物線上任意三點的座標；交點式： ，其中（ ，0）與（ ，0）是拋物線與x軸的兩點交點的座標，主要用於已知與x軸兩個交點的座標或兩點間的距離及對稱軸；頂點式： ，其中（h，k）是拋物線的頂點座標，主要用於已知拋物線的頂點座標或對稱軸或最大（小）值。

92、二次函數的圖象是一條拋物線，它具有以下性質：（1）拋物線 的頂點座標是（ ， ），對稱軸是直線 ；當a、b同號時，對稱軸在y軸的左側；當a、b異號時，對稱軸在y軸的右側；當b=0時，對稱軸為y軸。（2）當a>0時，開口向上；當a<0時，開口向下；|a|決定拋物線開口大小；|a|越大，拋物線開口越小；|a|越小，拋物線開口越大。（3）當a>0， 時，y有最小值 ；當a<0， 時，y有最大值 。（4）增減性：對於二次函數 。①若a>0，當 時，y隨x的增大而減小；當 時，y隨x的增大而增大；②若a<0，當 時，y隨x的增大而增大；當 時，y隨x的增大而減小。（5）拋物線與y軸交點為(0,c)，當c>0時，交點在y軸的正半軸；當c<0時，交點在y軸的負半軸；當c=0時，經過原點。

93、對於拋物線，a的符號由開口方向確定，b由對稱軸確定，c由拋物線與y軸的交點確定，2a±b由對稱軸確定，a-b+c由x=-1時y的符號確定，4a-2b+c由x=-2時y的值確定。即拋物線經過（1，a+b+c）、（-1，a-b+c）、(-2，4a-2b+c)等點。求兩個函數圖象的交點座標，就是把兩個函數的解析式聯立成方程組，求出的解就是交點座標。直線與拋物線的交點有三種情況：當方程組有兩解時，有兩個交點（△>0）；當有一個解時，即有一個交點（△=0）；當沒有解時，即不存在交點（△<0）。

94、構造二次函數模型，求最大（小）值。

95、選擇題的解題辦法：數形結合的觀察法、特殊值法、驗證法、排除法、直解法。

96、對於拋物線 ，與x軸交點A（ ，0）、B（ ，0）則（1）|AB|=| - |= ，對稱軸

97、函數關係式 點座標 線段長 幾何知識的應用。

高中的函數及其表示，解題方法。

我查的 可能和你要的有些不同 但也看看吧 也許有幫助一．觀察法

通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。

例1求函數y=3+√(2－3x) 的值域。

點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2－3x) 的值域。

解：由算術平方根的性質，知√(2－3x)≥0，

故3+√(2－3x)≥3。

∴函數的知域為.

點評：算術平方根具有雙重非負性，即：（1）被開方數的非負性，（2）值的非負性。

本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對於一類函數的值域的求法，簡捷明瞭，不失為一種巧法。

練習：求函數y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域為：｛0，1，2，3，4，5｝）

二．反函數法

當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。

例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。

點撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。

解：顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數為:x=(1－2y)/（y－1）,其定義域為y≠1的實數,故函數y的值域為｛y∣y≠1,y∈R｝。

點評：利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。

練習：求函數y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函數的值域為｛y∣y<－1或y>1｝）

三．配方法

當所給函數是二次函數或可化為二次函數的複合函數時,可以利用配方法求函數值域

例3：求函數y=√(－x2+x+2)的值域。

點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函數的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函數的定義域為x∈[－1，2]。此時－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]

∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函數的值域是[0,3/2]

點評：求函數的值域不但要重視對應關係的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。

練習：求函數y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域為{y∣y≤3})

四．判別式法

若可化為關於某變量的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。

例4求函數y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

點撥：將原函數轉化為自變量的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數的值域。

解：將上式化為（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）

當y≠2時,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3

當y=2時,方程(＊)無解。∴函數的值域為2＜y≤10/3。

點評：把函數關係化為二次方程F(x,y)=0，由於方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函數的值域。常適應於形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數。

練習：求函數y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域為y≤－8或y>0）。

五．最值法

對於閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,並與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域。

點撥：根據已知條件求出自變量x的取值範圍，將目標函數消元、配方，可求出函數的值域。

解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。

當x=-1時，z=－5；當x=3/2時，z=15/4。

∴函數z的值域為｛z∣－5≤z≤15/4｝。

點評：本題是將函數的值域問題轉化為函數的最值。對開區間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數的值域。

練習：若√x為實數，則函數y=x2+3x-5的值域為 （）

A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞]C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）

（答案：D）。

六．圖象法

通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域。

例6求函數y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。

點撥：根據絕對值的意義，去掉符號後轉化為分段函數，作出其圖象。

解：原函數化為 －2x+1(x≤1)

y= 3 (-1<x≤2)

2x-1(x>2)

它的圖象如圖所示。

顯然函數值y≥3,所以，函數值域[3，＋∞]。

點評：分段函數應注意函數的端點。利用函數的圖象

求函數的值域，體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。

求函數值域的方法較多，還適應通過不等式法、函數的單調性、換元法等方法求函數的值域。

七．單調法

利用函數在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。

例1求函數y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

點撥：由已知的函數是複合函數，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為x≤1/3，在此區間內分別討論函數的增減性，從而確定函數的值域。

解：設f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函數，從而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x

在定義域為x≤1/3上也為增函數，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數值域為｛y|y≤4/3｝。

點評：利用單調性求函數的值域，是在函數給定的區間上，或求出函數隱含的區間，結合函數的增減性，求出其函數在區間端點的函數值，進而可確定函數的值域。

練習：求函數y=3+√4-x的值域。(答案：｛y|y≥3｝)

八．換元法

以新變量代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變量為自變量的函數形式，進而求出值域。

例2求函數y=x-3+√2x+1 的值域。

點撥：通過換元將原函數轉化為某個變量的二次函數，利用二次函數的最值，確定原函數的值域。

解：設t=√2x+1 （t≥0）,則

x=1/2(t2-1)。

於是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.

所以，原函數的值域為｛y|y≥－7/2｝。

點評：將無理函數或二次型的函數轉化為二次函數，通過求出二次函數的最值，從而確定出原函數的值域。這種解題的方法體現換元、化歸的思想方法。它的應用十分廣泛。

練習：求函數y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝

九．構造法

根據函數的結構特徵，賦予幾何圖形，數形結合。

例3求函數y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。

點撥：將原函數變形，構造平面圖形，由幾何知識，確定出函數的值域。

解：原函數變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22

作一個長為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位

正方形。設HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,

KC=√(x+2)2+1 。

由三角形三邊關係知，AK+KC≥AC=5。當A、K、C三點共

線時取等號。

∴原函數的知域為｛y|y≥5｝。

點評：對於形如函數y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數)，均可通過構造幾何圖形，由幾何的性質，直觀明瞭、方便簡捷。這是數形結合思想的體現。

練習：求函數y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）

十．比例法

對於一類含條件的函數的值域的求法，可將條件轉化為比例式，代入目標函數，進而求出原函數的值域。

例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函數z=x2+y2的值域。

點撥：將條件方程3x-4y-5=0轉化為比例式，設置參數，代入原函數。

解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數)

∴x=3+4k,y=1+3k,

∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

當k=－3/5時，x=3/5,y=－4/5時，zmin=1。

函數的值域為｛z|z≥1｝.

點評：本題是多元函數關係，一般含有約束條件，將條件轉化為比例式，通過設參數，可將原函數轉化為單函數的形式，這種解題方法體現諸多思想方法，具有一定的創新意識。

練習：已知x,y∈R，且滿足4x-y=0,求函數f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）

十一．利用多項式的除法

例5求函數y=(3x+2)/(x+1)的值域。

點撥：將原分式函數，利用長除法轉化為一個整式與一個分式之和。

解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。

∵1/(x+1)≠0，故y≠3。

∴函數y的值域為y≠3的一切實數。

點評：對於形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數均可利用這種方法。

練習：求函數y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）

十二．不等式法

例6求函數Y=3x/(3x+1)的值域。

點撥：先求出原函數的反函數，根據自變量的取值範圍，構造不等式。

解：易求得原函數的反函數為y=log3[x/(1-x)],

由對數函數的定義知x/(1-x)＞0

1-x≠0

解得，0＜x<1。

∴函數的值域（0，1）。

點評：考查函數自變量的取值範圍構造不等式（組）或構造重要不等式，求出函數定義域，進而求值域。不等式法是重要的解題工具，它的應用非常廣泛。是數學解題的方法之一。

以下供練習選用：求下列函數的值域

1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）

2．Y=2x/(2x－1)。（y>1或y<0）

注意變量哦

高一數學函數及其表示中，F（X)到底是什麼含義？

你前面的理解是正確的，F（X）相當於f(x)，只是一種映射方式，代表一種運算行式。像一次函數、二次函數都可以用F（表示）。如果題目中導數，F(x)則為原函數。F（X+1）的自變量是X+1，把X+1看做一個整體，可以設為a,a的含義與X等同。