等價無窮小的性質

等價無窮小的性質：有限個無窮小相加、相減、相乘還是無窮小；無窮小與有界函數的乘積還是無窮小；無窮小除以一個極限非零的函數還是無窮小；乘積的某個因子可以換成等價無窮小，和式中的某一部分不能替換。等價無窮小是現代詞，是一個專有名詞，指的是數學術語，是大學高等數學微積分使用最多的等價替換。

求極限時，使用等價無窮小的條件：1、被代換的量，在取極限的時候極限值為0；2、被代換的量，作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換，但是作為加減的元素時就不可以。等價無窮小替換是計算未定型極限的常用方法，它可以使求極限問題化繁為簡，化難為易。

求極限基本方法有：1、分式中，分子分母同除以最高次，化無窮大為無窮小計算，無窮小直接以0代入；2、無窮大根式減去無窮大根式時，分子有理化，然後運用(1)中的方法；3、運用兩個特別極限。

4、運用洛必達法則，但是洛必達法則的運用條件是化成無窮大比無窮大，或無窮小比無窮小，分子分母還必須是連續可導函數。它不是所向無敵，不可以代替其他所有方法，一樓言過其實。5、用Mclaurin(麥克勞琳)級數展開，而國內普遍誤譯為Taylor(泰勒)展開。

如何證明等價無窮小的三個性質

證明等價無窮小的三個性質：洛必達法則，[ln(1+x)]'=1/(x+1) [e^x-1]'=e^x 分母導數都是1，那不就分別變成了1/(1+x)和e^x當x→0時的極限。

無窮小的等價關係具有下列性質（1），α~α的自反性（2），若α~β，則β~α（對稱性），因為α是無窮小且lim（α/α）=1，所以α~α，因為α~β，所以lim（α/β）=1=lim（β/α），所以β~α。

等價無窮小替換

是計算未定型極限的常用方法，它可以使求極限問題化繁為簡，化難為易。

求極限時，使用等價無窮小的條件：被代換的量，在取極限的時候極限值為0。被代換的量，作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換，但是作為加減的元素時就不可以。

等價無窮小有什麼性質呢？

等價無窮小的公式：

1、sinx~x、tanx~x、arcsinx~x、arctanx~x、1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1。

2、（a^x）-1~x*lna [a^x-1)/x~lna]。

3、（e^x）-1~x、ln(1+x)~x。

4、(1+Bx)^a-1~aBx、[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x、loga(1+x)~x/lna、（1+x)^a-1~ax(a≠0)。

無窮小量是數學分析中的一個概念，在經典的微積分或數學分析中，無窮小量通常以函數、序列等形式出現。 無窮小量即以數0為極限的變量，無限接近於0。確切地説，當自變量x無限接近x0（或x的絕對值無限增大）時，函數值f(x)與0無限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，則稱f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮小量。特別要指出的是，切不可把很小的數與無窮小量混為一談。

高數：等價無窮小的運算性質

有限個無窮小相加、相減、相乘還是無窮小

無窮小與有界函數的乘積還是無窮小

無窮小除以一個極限非零的函數還是無窮小

乘積的某個因子可以換成等價無窮小，和式中的某一部分不能替換

例如：x→0，tanx－sinx中的tanx和sinx都不能換成x，但是化簡tanx－sinx＝tanx(1-cosx)後，tanx和1-cosx都可替換