不等式的基本性質
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對稱性;傳遞性;加法單調性,即同向不等式可加性;乘法單調性;同向正值不等式可乘性;正值不等式可乘方;正值不等式可開方;倒數法則。
對稱性;傳遞性;加法單調性,即同向不等式可加性;乘法單調性;同向正值不等式可乘性;正值不等式可乘方;正值不等式可開方;倒數法則。
不等式就是用大於,小於,大於等於,小於等於連接而成的數學式子,它一般有如下八個基本性質。
如果x>y,那麼y
如果x>y,y>z;那麼x>z;(傳遞性)
如果x>y,而z為任意實數或整式,那麼x+z>y+z,即不等式兩邊同時加或減去同一個整式,不等號方向不變;
如果x>y,z>0,那麼xz>yz ,即不等式兩邊同時乘(或除以)同一個大於0的整式,不等號方向不變;
如果x>y,z<0,那麼xz 如果x>y,m>n,那麼x+m>y+n; 如果x>y>0,m>n>0,那麼xm>yn; 如果x>y>0,那麼x的n次冪>y的n次冪(n為正數),x的n次冪 通常不等式中的數是實數,字母也代表實數,不等式的一般形式為F(x,y,……,z)≤G(x,y,……,z )(其中不等號也可以為 中某一個),兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域,不等式既可以表達一個命題,也可以表示一個問題。 √ [(a²+b²)/2]≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)。 平方平均數≥算術平均數≥幾何平均數≥調和平均數。 “1”的妙用。題目中如果出現了兩個式子之和為常數,要求這兩個式子的倒數之和的最小值,通常用所求這個式子乘以1,然後把1用前面的常數表示出來,並將兩個式子展開即可計算。如果題目已知兩個式子倒數之和為常數,求兩個式子之和的最小值,方法同上。 調整係數。有時候求解兩個式子之積的最大值時,需要這兩個式子之和為常數,但是很多時候並不是常數,這時候需要對其中某些係數進行調整,以便使其和為常數。 (1)√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)。(當且僅當a=b時,等號成立) (2)√(ab)≤(a+b)/2。(當且僅當a=b時,等號成立) (3)a²+b²≥2ab。(當且僅當a=b時,等號成立) (4)ab≤(a+b)²/4。(當且僅當a=b時,等號成立) (5)||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|。(當且僅當a=b時,等號成立) “1”的妙用。題目中如果出現了兩個式子之和為常數,要求這兩個式子的倒數之和的最小值,通常用所求這個式子乘以1,然後把1用前面的常數表示出來,並將兩個式子展開即可計算。如果題目已知兩個式子倒數之和為常數,求兩個式子之和的最小值,方法同上。 調整係數。有時候求解兩個式子之積的最大值時,需要這兩個式子之和為常數,但是很多時候並不是常數,這時候需要對其中某些係數進行調整,以便使其和為常數。
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