三角形內心特點

設△ABC的內切圓為☉O(半徑r)，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2。1、內心在△ABC三邊距離相等，這個相等的距離是△ABC內切圓的半徑；2、若I是△ABC的內心，AI延長線交△ABC外接圓於D，則有DI=DB＝DC，即D為△BCI的外心。3、r=S/p（S表示三角形面積）證明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得結論。4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。5、點O是平面ABC上任意一點，點O是△ABC內心的充要條件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。6、點O是平面ABC上任意一點，點I是△ABC內心的充要條件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。7、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那麼△ABC內心I的座標是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))。

擴展資料內心的運用：RT△ABC中，，AC=6，BC=8，則△ ABC 的內切圓半徑為r=2（圖見上）解析：⊙O是△ ABC的內切圓，設切點分別為D,E,F，連接OD,OE,OF,則OD⊥BC,OF⊥AB,OE⊥AC,由勾股定理可得AB=10。連接OA,OB,OC,則OD,OE,OF,可分別看成△BOC, △AOC,△AOB的一條高，且OD=OE=OF=r,則BD=6-r,AE=8-r,由切線長定理可得BF=BD=6-r,AF=AE=8-r,而BF+AF=6-r+8-r=AB=10，r=1/2(6+8-10)=2.參考資料來源：百度百科-內心