標準正態分佈函數的性質有哪些

標準正態分佈函數的性質：1、密度函數關於平均值對稱。2、函數曲線下68.268949%的面積在平均數左右的一個標準差範圍內。3、函數曲線的反曲點為離平均數一個標準差距離的位置。4、平均值與它的眾數以及中位數同一數值。5、95.449974%的面積在平均數左右兩個標準差的範圍內。

標準正態分佈是以0為均數，以1為標準差的正態分佈，記為N（0，1）。標準正態分佈在數學、物理及工程等領域都非常重要，在統計學的許多方面也有着重大的影響力。正態分佈也稱為高斯分佈。客觀世界中很多變量都服從或近似服從正態分佈，且正態分佈具有很好的數學性質，所以正態分佈也是人們研究最多的分佈之一。

正態曲線呈鍾型，兩頭低，中間高，左右對稱因其曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線。若隨機變量X服從一個數學期望為μ、方差為σ2的正態分佈，記為N(μ，σ2)。其概率密度函數為正態分佈的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分佈的幅度。當μ=0,σ=1時的正態分佈是標準正態分佈。

正態分佈的一些主要特徵：1、集中性：正態曲線的高峯位於正中央，即均數所在的位置。2、對稱性：正態曲線以均數為中心，左右對稱，曲線兩端永遠不與橫軸相交。3、均勻變動性：正態曲線由均數所在處開始，分別向左右兩側逐漸均勻下降。4、正態分佈有兩個參數，即均數μ和標準差σ，可記作N（μ，σ）。

標準正態分佈性質是什麼?

標準正態分佈函數的性質：密度函數關於平均值對稱。

函數曲線下68.268949%的面積在平均數左右的一個標準差範圍內。函數曲線的反曲點為離平均數一個標準差距離的位置。平均值與它的眾數以及中位數同一數值。95.449974%的面積在平均數左右兩個標準差的範圍內。

基本介紹

標準正態分佈是以0為均數，以1為標準差的正態分佈，記為N（0，1）。標準正態分佈在數學、物理及工程等領域都非常重要，在統計學的許多方面也有着重大的影響力。

正態分佈也稱為高斯分佈。客觀世界中很多變量都服從或近似服從正態分佈，且正態分佈具有很好的數學性質，所以正態分佈也是人們研究最多的分佈之一。

正態曲線呈鍾型，兩頭低，中間高，左右對稱因其曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線。若隨機變量X服從一個數學期望為μ、方差為σ2的正態分佈，記為N(μ，σ2)。

其概率密度函數為正態分佈的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分佈的幅度。當μ=0,σ=1時的正態分佈是標準正態分佈。

正態分佈的性質有哪些

正態分佈的性質：如果X1，…，Xn為獨立標準常態隨機變量,那麼X1²+…+Xn²服從自由度為n的卡方分佈。

正態分佈的性質

正態分佈相關問題

如X、Y都服從正態分佈，Z=X/2+Y/3Z還服從正態分佈嗎？

只有相互獨立的正態分佈加減之後，才是正態分佈。如果兩個相互獨立的正態分佈X~N(u1,m²)，Y~N(u2，n²)，那麼Z=X±Y仍然服從正太分佈，Z~N(u1±u2，m²+n²)。

正態分佈又名高斯分佈，是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分佈，在統計學的許多方面有着重大的影響力。若隨機變量X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的高斯分佈，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函數為正態分佈的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分佈的幅度。因其曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線。我們通常所説的標準正態分佈是μ=0,σ=1的正態分佈。

正態分佈函數的性質

正態分佈（Normal distribution），也稱“常態分佈”，又名高斯分佈（Gaussian distribution），最早由棣莫弗（Abraham de Moivre）在求二項分佈的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質。是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分佈，在統計學的許多方面有着重大的影響力。

正態曲線呈鍾型，兩頭低，中間高，左右對稱因其曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線。

若隨機變量X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的正態分佈，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函數為正態分佈的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分佈的幅度。當μ = 0,σ = 1時的正態分佈是標準正態分佈。

中文名

正態分佈

外文名

normal distribution

別名

高斯分佈

發現者

棣莫弗（Abraham de Moivre）

所屬學科

概率論

快速

導航

定理定義性質分佈曲線研究過程曲線應用

歷史發展

正態分佈概念是由德國的數學家和天文學家棣莫弗（Abraham de Moivre）於1733年首次提出的，但由於德國數學家Gauss率先將其應用於天文學研究，故正態分佈又叫高斯分佈，高斯這項工作對後世的影響極大，他使正態分佈同時有了“高斯分佈”的名稱，後世之所以多將最小二乘法的發明權歸之於他，也是出於這一工作。但現今德國10馬克的印有高斯頭像的鈔票，其上還印有正態分佈的密度曲線。這傳達了一種想法：在高斯的一切科學貢獻中，其對人類文明影響最大者，就是這一項。在高斯剛作出這個發現之初，也許人們還只能從其理論的簡化上來評價其優越性，其全部影響還不能充分看出來。這要到20世紀正態小樣本理論充分發展起來以後。拉普拉斯很快得知高斯的工作，並馬上將其與他發現的中心極限定理聯繫起來，為此，他在即將發表的一篇文章（發表於1810年）上加上了一點補充，指出如若誤差可看成許多量的疊加，根據他的中心極限定理，誤差理應有高斯分佈。這是歷史上第一次提到所謂“元誤差學説”——誤差是由大量的、由種種原因產生的元誤差疊加而成。後來到1837年，海根（n）在一篇論文中正式提出了這個學説。

其實，他提出的形式有相當大的侷限性：海根把誤差設想成個數很多的、獨立同分布的“元誤差” 之和，每隻取兩值，其概率都是1/2，由此出發，按棣莫弗的中心極限定理，立即就得出誤差（近似地）服從正態分佈。拉普拉斯所指出的這一點有重大的意義，在於他給誤差的正態理論一個更自然合理、更令人信服的解釋。因為，高斯的説法有一點循環論證的氣味：由於算術平均是優良的，推出誤差必須服從正態分佈；反過來，由後一結論又推出算術平均及最小二乘估計的優良性，故必須認定這二者之一（算術平均的優良性，誤差的正態性） 為出發點。但算術平均到底並沒有自行成立的理由，以它作為理論中一個預設的出發點，終覺有其不足之處。拉普拉斯的理論把這斷裂的一環連接起來，使之成為一個和諧的整體，實有着極重大的意義。

定理

由於一般的正態總體其圖像不一定關於y軸對稱，對於任一正態總體，其取值小於x的概率。只要會用它求正態總體在某個特定區間的概率即可。

為了便於描述和應用，常將正態變量作數據轉換。將一般正態分佈轉化成標準正態分佈。[1]

若

服從標準正態分佈,通過查標準正態分佈表就可以直接計算出原正態分佈的概率值。故該變換被稱為標準化變換。（標準正態分佈表：標準正態分佈表中列出了標準正態曲線下從-∞到X（當前值）範圍內的面積比例。）

定義

一維正態分佈

若隨機變量

服從一個位置參數為

、尺度參數為

的概率分佈，且其概率密度函數為[2]

則這個隨機變量就稱為正態隨機變量，正態隨機變量服從的分佈就稱為正態分佈，記作

，讀作

服從

，或

服從正態分佈。

μ維隨機向量具有類似的概率規律時，稱此隨機向量遵從多維正態分佈。多元正態分佈有很好的性質，例如，多元正態分佈的邊緣分佈仍為正態分佈，它經任何線性變換得到的隨機向量仍為多維正態分佈，特別它的線性組合為一元正態分佈。

本詞條的正態分佈是一維正態分佈，此外多維正態分佈參見“二維正態分佈”。

標準正態分佈

當

時，正態分佈就成為標準正態分佈

性質

正態分佈的一些性質：[2]

（1）如果

且a與b是實數，那麼

（參見期望值和方差）。

（2）如果

與

是統計獨立的正態隨機變量，那麼：

它們的和也滿足正態分佈

它們的差也滿足正態分佈

U與V兩者是相互獨立的。（要求X與Y的方差相等）。

（3）如果

和

是獨立常態隨機變量，那麼：

它們的積XY服從概率密度函數為p的分佈

其中

是修正貝塞爾函數（modified Bessel function）

它們的比符合柯西分佈，滿足

（4）如果

為獨立標準常態隨機變量，那麼

服從自由度為n的卡方分佈。