矩陣相似對角化的條件

相似對角化是線性代數中最重要的知識點之一。如果一個方陣A相似於對角矩陣，也就是説存在一個可逆矩陣P使得P-1AP是對角矩陣，則A就被稱為可以相似對角化的。相似對角化的條件是：n階方陣存在n個線性無關的特徵向量；如果這個n階方陣有n個不同的特徵值，那麼矩陣必然存在相似矩陣；如果階n方陣存在重複的特徵值，每個特徵值的線性無關的特徵向量的個數恰好等於該特徵值的重複次數。相似對角化意思是取對角化矩陣的時候，在滿足特徵值分別可取與原矩陣階數相同的特徵向量時，該對角矩陣即與原矩陣相似。相似是一種等價關係，對角化相當於對一類矩陣在相似意義下給出了一種簡單的等價形式，這對理論分析是方便的。設M為元素取自交換體K中的n階方陣，將M對角化，就是確定一個對角矩陣D及一個可逆方陣P，使M=PDP-1。設f為典範對應於M的Kn的自同態，將M對角化，就是確定Kn的一個基，使在該基中對應f的矩陣是對角矩陣。對角矩陣是最簡單的一類矩陣，研究起來非常方便。這個過程相當於在一個等價類中選取最順眼的元素研究。

因為對角矩陣形式簡單，它的行列式就是對角線元素的乘積，它的對角線元素就是它的特徵值（換言之，矩陣的特徵值的累乘就是矩陣的行列式）。矩陣的相似不變量有：行列式、特徵多項式、特徵值、跡、最小多項式、行列式因子、不變因子、初等因子等。

設M為元素取自交換體K中的n階方陣，將M對角化，就是確定一個對角矩陣D及一個可逆方陣P，使M=PDP-1。設f為典範對應於M的Kn的自同態，將M對角化，就是確定Kn的一個基，使在該基中對應f的矩陣是對角矩陣。對角矩陣是指只有主對角線上含有非零元素的矩陣，即，已知一個n×n矩陣 ，如果對於 ，則該矩陣為對角矩陣。如果存在一個矩陣 ，使 的結果為對角矩陣，則稱矩陣 將矩陣 對角化。對於一個矩陣來説，不一定存在將其對角化的矩陣，但是任意一個n×n矩陣如果存在n個線性不相關的特徵向量，則該矩陣可被對角化。

對角矩陣是一個主對角線之外的元素皆為0的矩陣。對角線上的元素可以為0或其他值。對角線上元素相等的對角矩陣稱為數量矩陣；對角線上元素全為1的對角矩陣稱為單位矩陣。