矩陣的初等變換

某一行列乘以一個非零倍數，某一行列乘以一個非零倍數，加到另一行列某兩行列，互換。

某一行列乘以一個非零倍數，某一行列乘以一個非零倍數，加到另一行列某兩行列，互換。

在線性代數中矩陣的初等變換是三種變換類型，交換矩陣的兩行，以一個非零數k乘矩陣的某一行所有元素，把矩陣的某一行所有元素乘以一個數k後加到另一行對應的元素，把以上的行改為列便得到矩陣初等變換的定義，把對應的記號r換為c，矩陣的初等行變換與初等列變換合稱為矩陣的初等變換。

初等變換都不會改變一個方陣A的行列式的非零性，所以如果一個矩陣是方陣，我們可以通過看初等變換後的矩陣是否可逆，來判斷原矩陣是否可逆。可以看出，矩陣的3種初等變換都是可逆的，且其逆變換也是同一種類型的初等變換，這只是矩陣初等變換的一個小小的應用，它在線性代數中的更重要的應用主要體現於求矩陣的秩，求向量組的極大無關組、秩，求解線性方程組，求多項式的最大公因式等。

初等行變換的用途求矩陣的秩,化行階梯矩陣，非零行數即矩陣的秩，同時用列變換也沒問題，但行變換就足夠用了，化為行階梯形求向量組的秩和極大無關組，(A,b)化為行階梯形，判斷方程組的解的存在性，化行最簡形把一個向量表示為一個向量組的線性組合，方程組有解時, 求出方程組的全部解求出向量組的極大無關組，且將其餘向量由極大無關組線性表示。

設A是一個n階矩陣，若存在另一個n階矩陣B，使得： AB=BA=E ，則稱方陣A可逆，並稱方陣B是A的逆矩陣。

一個n階方陣A稱為可逆的，或非奇異的，如果存在一個n階方陣B，使得AB=BA=E,則稱B是A的一個逆矩陣。A的逆矩陣記作A-1。

用矩陣的伴隨矩陣求解：對於這個方法，二階矩陣用得比較廣，三階及以上就不太實用了；初等變換法：要求的和單位矩陣擺在一起，左邊怎麼變右邊就這麼變，注意自己的初等變換實力過關。

如果想學好這門課程強烈推薦大家每次做題前先將書上的理論框架完全搞清，列出重要的對象和定理，隱去定義和證明內容，自行推理建立一遍書上的體系。哪些證明不要求，證明步驟的先後順序等等細節務必完全落實。

以三階伴隨矩陣為例：

首先求出各代數餘子式

A11=(-1)^2*(a22*a33-a23*a32)=a22*a33-a23*a32

A12=(-1)^3*(a21*a33-a23*a31)=-a21*a33+a23*a31

A13=(-1)^4*(a21*a32-a22*a31)=a21*a32-a22*a31

A21=(-1)^3*(a12*a33-a13*a32)=-a12*a33+a13*a32

……

A33=(-1)^6*(a11*a22-a12*a21)=a11*a22-a12*a21

然後伴隨矩陣就是

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33然後再轉置，就是伴隨矩陣。