什麼是非線性振動

大多數振動系統可簡化為線性振動系統。可是，有些振動現象不能用線性理論來分析，如果將這些振動線性化，將使系統的性質改變。這類振動應按系統本來的非線性性質進行研究，其運動微分方程式是非線性的，稱為非線性振動。

物體在穩定平衡位置附近的微小振動，往往可以看成線性振動。但大的振動，大都是非線性振動。在工程中常碰到的切削自振、油膜振盪等等許多自激振動的實例也都是非線性振動。又如在機械工程中的共振篩、共振運輸機等，其主振彈簧如採用線性彈簧，則振幅不穩定，如採用非線性彈性元件，就可克服以上缺點，得到較穩定的振幅。

描述非線性振動的微分方程，其一般形式為

。

非線性振動的物理特性

頻率和振幅間的關係

線性系統的固有頻率與振幅大小無關。非線性系統的固有頻率ω、j、隨其振幅A、大小而變化。對於硬特性系統，固有頻率隨振幅增大而提高；對於軟特性系統，固有頻率隨振幅增大而降低。

跳躍和滯後現象

如圖所示，圖中表示由質量、力阻和非線性彈簧組成的振動系統在外力作用下振動，振幅A、和相位φ、隨激振力的圓頻率ω、j、變化的關係。若頻率繼續增大，則振幅自b、點突然降到с點，發生一個跳躍，此後，若繼續增大ω、j、時，振幅沿сd、逐漸減小，反之從高頻開始，逐漸減小激振頻率時，受迫振動的振幅沿d、сe、f、a、變化，在e、點又發生一次跳躍，突然上升到f、點。這種現象稱為跳躍現象。

當激振力頻率ω、j、增大和減小過程中，振幅跳躍時的頻率值是不同的，來回所經過的線路形成一個回線。這種現象幅頻響應的稱為滯後現象。

如下圖所示，不僅振幅有跳躍現象，相位也有跳躍現象。

分諧波和諧波

與線性系統不同，在簡諧激振力作用下的非線性系統，受迫振動不一定是簡諧振動，響應波形中， 含有頻率等於ω、j、/n、的分諧波及頻率等於nω、j、的諧波（這裏n、為正整數）。一般來説，諧波響應在非線性系統中都或多或少地存在，分諧波響應則只有在一定條件下才能產生。由於分諧波和諧波振動的出現，非線性系統共振頻率的數目將多於系統自由度的個數。

組合頻率響應

如果非線性系統在兩個激振力，即F、1sinω、

t、和F、2sinω、t、作用下，系統出現組合頻率mω、

±nω、 (m、、n、為整數) 的受迫振動。在一定條件下某個組合頻率的分量要比其他分量大得多。

疊加原理不適用

由於各激振力之間有相互響應，非線性系統在多個激振力作用下的影響不是各個激振力單獨作用下系統響應的簡單疊加。

頻率俘獲現象

頻率俘獲現象是非線性系統的一種現象。如自激振動系統以頻率ω、o自振時，受到頻率為ω、的激振力作用，當ω、與ω、o接近到一定範圍，拍振就消失，出現一個簡諧運動，即頻率ω、o與ω、進入同步，這個現象稱為頻率俘獲，產生俘獲現象的頻帶稱俘獲帶域。

在工程中，兩個以上並聯工作的機械激振器的同步，檢驗鐘錶計時準確等，都利用了頻率俘獲這種現象。

求解非線性振動的常用方法

研究非線性振動的方法可分為定性的和定量的兩類。定性方法主要研究運動方程積分曲線的分佈情況，直觀地分析振動的情況，觀察參量變化對振動的影響。定量方法則可作數值計算。由於非線性振動的複雜性，至今還沒有一個能適用於各種情況的方法，也只有極少數問題可以求得精確解，對大多數問題來説，只能用各種近似方法求得近似解。

非線性振動的穩定性

在非線性系統中，可能出現許多不同類型的週期運動，如諧波振動、分諧波振動等，其中有些運動是不穩定的。跳躍現象就是由於系統存在有不穩定運動的緣故。

穩定性問題在工程中有很重要的意義，有時判斷系統在其平衡位置是否穩定，或可能出現的運動是否穩定，往往比求得運動的準確形態本身還重要。例如機械工程中常碰到的自激振動問題，重要的是判斷系統在什麼條件下會產生自激振動，即判斷系統的穩定性及系統各參量對穩定性的影響，而不需要去求自激振動產生後振動的準確頻率和振幅。又如同步電機的“失步”，也是一個穩定性問題。

參考書目

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