什麼是模型論

數理邏輯的一個分支，是研究形式語言及其解釋(模型)之間的關係的理論。在20世紀20年代，A.T.斯科朗等人在數理邏輯研究中就已得到模型論性質的重要結果；但作為系統的理論，模型論的奠基人應推A.塔爾斯基;後來A.魯賓孫也對模型論作過較多貢獻。在這方面有貢獻的數學家主要還有R.L.沃特、A.И.馬爾採夫、張晨鐘、H.J.基斯勒、M.莫利、S.謝拉赫等人。

一個形式語言L的解釋U稱為此語言的一個模型或結構。U是一個具有若干運算、關係及特指元素的非空集合，也稱為泛代數。所以，模型論又被形容為”泛代數＋邏輯“。由於所涉及的邏輯系統不同，模型論可分為：一階模型論、高階模型論、無窮長語言模型論、模態模型論、具有廣義量詞邏輯的模型論、多值模型論等。由於在數理邏輯中以一階邏輯發展最成熟，所以，模型論也是以一階模型論內容最豐富，應用也最多。

模型論與數理邏輯的其他分支（邏輯演算、證明論、遞歸論、公理集合論等）有着密切的聯繫。首先，各種邏輯演算是模型論的基礎。此外，在證明論中，有關判定問題的研究廣泛使用着模型論方法。在公理集合論中，有關大基數的研究與模型論有密切的聯繫。另外，布爾值模型被應用於各種獨立性問題的研究。又如，遞歸論中很多重要概念及結果被推廣應用於研究各種代數結構（模型），公理集合論中的力迫方法也被移植於模型論中，等等。

模型論中的概念與方法，除了主要來源於數理邏輯之外，也有不少來源於代數，它與抽象代數，特別是與泛代數理論的聯繫很密切。另外，由魯賓孫所創始的非標準分析，則是模型論與分析數學相結合的產物。模型論與其他數學學科，例如數論、拓撲學、概率論等也有聯繫。在不少場合，模型論的成果不但是作為數學性的結論起作用，並且是作為邏輯性的結論而起着推理工具的作用。

一階模型論

首先，所謂一階語言，就是用狹義謂詞演算範圍內的邏輯概念所表達的語言。具體地説，也就是用個體變元、個體常元、函數符號、關係符號（或稱謂詞符號，一般包括等號在內）、與、或、非、藴涵等命題連接詞，以及“存在一個體”、“對一切個體”兩個量詞所表達的語言，例如代數中羣、環、域的公理。其特點是，量詞“存在”、“對一切”只允許對個體使用，而不許對集合、函數、關係等使用。

一階模型論中一個基礎性的定理是，如果一階語言中一個命題集（即形式理論）T的每一有限子集都有模型，則T自身有模型。這個定理稱為緊緻性定理，它建立在一階邏輯中著名的完備性定理之上。後者首先由K.哥德爾證明又經馬爾採夫推廣及L.亨金等給出新證法。亨金的證法後來被髮展為模型論中構作模型的重要方法。緊緻性定理的應用很廣。例如，非標準分析的基礎是實數系的非標準模型，其存在性就是根據緊緻性定理或是它在高階語言中的某種變形。

模型論中一個發現較早的重要定理是勒文海姆－斯科朗定理，它的內容發展了的含意是：設一階語言L中所能表達的命題個數為λ（是一個超限數），如果L中的一個形式理論T有無限模型，則T有基數為任何α≥λ的模型。這個定理，在模型論及公理集合論中常被使用。

在對於模型的一階性質的研究中，初等子模型及初等鏈是重要的概念及方法。與此有關的還有形式理論的模型完備性等概念及其對代數的應用。

如果一個形式理論T 的任何兩個模型都具有完全相同的一階性質，則稱T 為完備的。在模型論中，可數完備理論的研究是一個比較系統而帶有典型性的部分。例如，對於可數完備理論T，沃特得到了：T具有合理意義下的可數“小”模型（稱為原子模型）的充分必要條件和T具有可數“大”模型（稱為ω-飽和模型）的充分必要條件。 C.賴爾-納爾德澤夫斯基等得到了 T 只有一個可數模型的充分必要條件。另外，沃特還有如下的有趣定理：T不會恰有兩個不同構的可數模型。

斯科朗函數及不可辨元在構作模型時是有用的方法。例如，緊緻性定理就可以用斯科朗函數來證明。又如，用它們可以證明：任何無限模型都具有任意大自同構羣的初等擴張。

超積是模型論中一個重要的由已知模型構作新模型的方法。

飽和模型是模型論中一個重要概念，它是一種內部性質極豐富的有用的模型。例如，利用飽和模型可以比較一致地證明關於形式理論的各種保持性定理。又如，在下述莫利定理的證明中以及E.阿廷的一個猜想的證明中，都用到飽和模型。

一個形式理論T，如果它的任何兩個基數為α 的模型都是同構的，則稱T 為α 範疇的。莫利關於範疇性的一個著名定理是：對於可數語言中的完備理論T)，如果它對於一個不可數基數α 是α 範疇的，則T 對於任何不可數基數β 也是β 範疇的。範疇性是一個很有用的概念。一些模型論學者利用範疇性及另一個重要概念穩定性，對於羣、環、域等代數結構進行了富有成果的研究。另外，謝拉赫在形式理論的穩定性及模型個數方面有深入的研究。謝拉赫還解決了在一大類無窮長語言中完備理論的模型個數問題。

馬爾採夫和他的學生們，在模型論對代數的應用方面做了不少工作。他是這方面的創始人之一。

模型完備性

設ц是形式語言L的一個模型，B是ц的一個子模型。如果對B的每一n元組

(n=1，2，3，…)，姼在ц中及B中具有完全相同的一階性質，則稱 B為ц的初等子模型。設T 是L中的形式理論，如果T 的每一模型ц的每一子模型B當它適合T 時必是ц的初等子模型，則稱T 為模型完備的理論。

初等子模型是塔爾斯基與沃特在20世紀50年代首先研究的。他們並且提出了初等鏈這一有效的模型構作方法。與此同時，魯賓孫從代數中抽象出模型完備性的概念，並將此概念及模型論方法應用於代數問題的研究。到60年代，這方面已有不少成果。例如，可以證明代數閉域理論是模型完備的，並可由此得出希爾伯特零點定理的一個新證法。又如，可以證明實閉有序域理論是模型完備的，魯賓孫並由此重新證明了阿廷等對希爾伯特第17問題的解答。

自70年代以來，魯賓孫等人進一步發展了這方面的研究。他提出了形式理論的模型完備化及一些有關概念，並借鑑公理集合論中的力迫方法而提出一種模型論力迫法。又經過A.麥金太爾，謝拉赫等不少人的有關工作，使這方面的研究得到更深入的發展以及對代數方面新的應用。

例如，對於有限生成的羣得到了它具有遞歸可解字問題的充分必要條件；對於微分域得到一種微分閉包的概念並證明了這種閉包的惟一性。

超積

超積的思想起源於斯科朗，到50年代由於J.沃希作了系統的奠基工作而開始在模型論及其他數學分支中起了重要作用。

超積概念建立在超濾子基礎上，後者的定義如下:設I 為一非空集合，D是I的一些子集所成的集合。如果D 適合下列條件①～③，則稱D為I上的一個濾子。

（1）I∈D，═唘D(═為空集)。

（2）若X，Y∈D，則X ∩Y∈D。

（3）若X ∈D且X嶅Y嶅I，則Y∈D。如果除此之外D又適合條件④對每一X嶅I，或X∈D，或I-X∈D，則稱D為I上的一個超濾子。超濾子的存在性是容易證明的。

為使超積的定義敍述簡便，以作可數多個域F1，F2，F3，…的超積為例。以I記這些Fi的足標構成的集{1，2，3，…}，並設D 為I上的任一個超濾子。考慮一切無限序列(α1，α2，α3，…)(αi∈Fi)。依自然方式定義序列間的加法和乘法（即按分量相加、相乘），並如下定義序列間的關係“～”:(α1，α2，α3，…)～(b1，b2，b3，…)當且僅當

由超濾子的性質易證“～”是一等價關係，並能保持＋，×運算。因而，可以在這些序列的等價類之間依自然方式導出＋，×運算而得到一個模型ПDFi，稱為諸Fi以D 為模的超積。容易證明它仍是一個域。特別地，若F1=F2=F3=…=F，那麼稱超積ПDFi為F的超冪。

一般模型的超積概念可以仿此定義。

超積ПDFi的主要特性是：它能保持“幾乎所有”Fi所共有的一階性質。更準確地説就是：設 ψ是任意一個關於域的一階性質，則ПDFi適合ψ 的充分必要條件是{i｜Fi適合ψ}∈D。

一般模型的超積也有類似的特性。它被稱為超積基本定理，是由沃希得到的。這一特性，是使超積在各種數學問題中起獨特作用的基礎。

在模型論中，超積常常能代替重要的緊緻性定理而起到類似的作用。另外，利用超冪可以溝通模型的初等等價及同構這兩個基本概念，謝拉赫證明了：語言L的兩個模型ц、B初等等價的充分必要條件是它們具有同構的超冪。

在公理集合論中，超積與大基數（例如可測基數）的研究有密切聯繫。

超積在代數中有不少應用。一個著名的例子是：J.阿克斯與S.B.科琴以及 ю.Л.葉爾紹夫把超積以及飽和模型等模型論工具應用於賦值域的研究，正面解決了有理數域的p進賦值完全化域Qp上的阿廷猜想。

在非標準分析以及起源於斯科朗的非標準算術中，其基礎的數系可以採用由普通數系作超冪而得到的非標準數系，而超積基本定理則是溝通普通數系與非標準數系的橋樑。

以上舉例介紹了一階模型論的一些內容。模型論是一個年輕的數學分支，它還在迅速發展中，新概念新方法不斷出現。特別是，它向代數、分析等數學學科中深入聯繫的趨勢很明顯。可以預料，隨着模型論的不斷髮展，它將為其他數學分支提供更多的新工具和新方法。

參考書目

g and ler，Model Theory，2nded.，North-Holland， Amsterdam， 1976.