線性代數知識點

線性代數知識點：

1、線性方程組是線性代數的核心，線性方程組是一個或幾個包含相同變量x1，x2，……，xn的線性方程組成的，方程組所有可能的解的集合稱為線性方程組的解集。兩個線性方程組若有相同的解集，則稱為等價的。

2、線性方程組的解法思路是把方程組用一個更容易解的等價方程組（既有相同解集）代替、用方程序第一個含x1的項消去其他方程組x1的項，然後用第二個含x2的項消去其他含x2的項，以此類推，他有三個性質：倍加變換、對換變換、倍乘變換。

3、階梯形矩陣三個性質：每一非零行在每一零行之上、某一行的先導元素所在的列位於前一行先導元素的右面、某一行先導元素所在列下方元素都是零。

線性代數知識點總結

線性代數知識點有線性方程組是線性代數的核心。

線性方程組由一個或多個包含相同變量x1，X2，。。。，xn。方程組的所有可能解的集合稱為線性方程組的解集合。如果兩個線性方程組具有相同的解集，則稱之為等價解。

線性代數在數學、物理和技術中有着各種重要的應用，因此它在代數的各個分支中佔有首要地位。如今，隨着計算機的廣泛應用，計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學、虛擬現實等技術都將線性代數作為其理論和算法基礎的一部分。

線性代數中所體現的幾何概念與代數方法的關係、從具體概念中抽象出來的公理化方法、嚴密的邏輯推導和巧妙的歸納與綜合，對於加強人們的數學訓練和獲得科學智能是非常有用的。

2.現代線性代數已經擴展到研究任意或無限維空間。維數為n的向量空間稱為n維空間。二維和三維空間中最有用的結論可以推廣到這些高維空間。雖然許多人不容易想象n維空間中的向量，但這樣的向量（即n元組）非常有效地表示數據。作為n元組，向量是n個元素的“有序”列表。大多數人可以在這個框架中有效地總結和操作數據。

線性代數知識點歸納有哪些？

線性代數知識點歸納有線性方程組是線性代數的核心，線性方程組是一個或幾個包含相同變量x1，x2，xn的線性方程組成的，方程組所有可能的解的集合稱為線性方程組的解集。兩個線性方程組若有相同的解集，則稱為等價的。

線性方程組的解法思路是把方程組用一個更容易解的等價方程組（既有相同解集）代替、用方程序第一個含x1的項消去其他方程組x1的項，然後用第二個含x2的項消去其他含x2的項，以此類推，他有三個性質：倍加變換、對換變換、倍乘變換。

線性代數介紹

線性代數是關於向量空間和線性映射的一個數學分支，包括對線、面和子空間的研究，也涉及到所有向量空間的一般性質。

線性代數是純數學和應用數學的核心，它的含義隨着數學的發展而不斷擴大，其理論和方法已經滲透到數學的許多分支，也成為理論物理和理論化學不可缺少的代數基礎知識。

線性代數是代數學的一個分支，主要處理線性關係問題。線性關係意即數學對象之間的關係是以一次形式來表達的。

例如，在解析幾何裏，平面上直線的方程是二元一次方程；空間平面的方程是三元一次方程，而空間直線視為兩個平面相交，由兩個三元一次方程所組成的方程組來表示。含有n個未知量的一次方程稱為線性方程。

關於變量是一次的函數稱為線性函數。線性關係問題簡稱線性問題。解線性方程組的問題是最簡單的線性問題。

線性代數知識點整理

本文目錄

1、線性系統Linear System

2、Vectors、Matrices

2.1 向量Vectors

2.2 矩陣Matrix

2.3 矩陣與向量相乘

3、線性方程組有解麼？

3.1 線性方程組

3.2 線性組合Linear Combination

3.3 張成的空間Span

4、線性方程組有多少個解

4.1 線性相關和線性無關

4.2 秩Rank

5、求解線性方程組

5.1 初等行變換

5.2 簡化行階梯形式Reduced Row Echelon Form

5.3 滿秩

6、矩陣乘法

6.1 矩陣乘法的含義

6.2 矩陣乘法的性質

6.3 分塊矩陣乘法

7、逆矩陣

7.1 什麼是矩陣的逆

7.2 初等矩陣

7.3 什麼矩陣是可逆的？

7.4 求解一個矩陣的逆

8、行列式

8.1 什麼是行列式？

8.2 行列式的性質

8.3 行列式的計算

9、子空間

9.1 子空間

9.2 零空間

9.3 列空間和行空間

10、基Basis

10.1 什麼是基Basis

10.2 基的特性

10.3 判斷一個集合是否為基

10.4 三種空間的基和維度

11、座標系

11.1 使用基表示向量

11.2 直角座標系和其他座標系的轉換

11.3 座標系與線性方程

12、特徵值和特徵向量

12.1 什麼是特徵值和特徵向量

12.2 如何計算特徵向量

12.3 檢查一個標量是否為特徵值

12.4 計算特徵值

12.5 正定矩陣&半正定矩陣

13、對角化

13.1 可對角化

13.2 可對角化的性質

14、正交

14.1 範數和距離

14.2 點積和正交

14.3 正交補

14.4 正交投影

14.5 如何做正交投影

14.6 正交投影的應用-求解線性迴歸

14.7 正交基

14.8 正交矩陣

14.9 對稱矩陣

15、奇異值分解

15.1 什麼是奇異值分解？

1、線性系統Linear System

一個線性系統滿足兩個條件：Persevering Multiplication和Persevering Addition。

Persevering Multiplication

Persevering Addition

多元線性方程組是一個線性系統 。

2、Vectors、Matrices

2.1 向量Vectors

向量是一堆數的集合，分為列向量和行向量，本文中，向量默認是列向量，行向量用其轉置表示。

向量與標量相乘 ，每一維都與該標量相乘：

向量相加 ，使用平行四邊形法則：

零向量 ：所有維度的值都為0：

標準向量 ：一個維度是1，其餘維度是0:

向量集 ：可以包含有限個或無限個向量：

Rn : 所有的n維向量組成的向量集合

2.2 矩陣Matrix

矩陣是一組向量：

如果矩陣有m行和n列，我們就説矩陣的大小為m*n，如果m=n，我們稱為方陣（square matrix）。

矩陣的元素下標表示，先行後列：

矩陣與標量相乘 ：每一個元素分別與該標量相乘。

矩陣相加 ：兩個矩陣的形狀必須一致，同位置的元素分別相加。

零矩陣 ：所有元素均為0的矩陣。

單位矩陣Identity matrix ：必須是方陣，對角線元素為1，其餘為0，用In表示n*n的單位矩陣。

同形狀的矩陣的一些運算法則 ：

矩陣的轉置 ：沿左上到右下的對角線為軸進行翻轉，將(i,j)位置的元素與(j,i)位置的元素互換得到的矩陣，轉置的矩陣用AT表示。

矩陣轉置的一些運算規則 ：

2.3 矩陣與向量相乘

矩陣和向量相乘，結果如下：

從行的角度來看矩陣和向量相乘 ：從行的角度看，矩陣A和向量x相乘，其結果是矩陣的A的每一行與向量x做點積(dot product,後面再介紹) 的結果。

從列的角度來看矩陣和向量相乘 ：從列的角度看，矩陣A和向量x相乘，相當於對矩陣A的列向量做了一次線性組合。

因此，無論從行角度還是列角度，矩陣A的列數要與向量x的維數相同。

矩陣和向量相乘的一些性質 ：

如果A和B都是m*n的矩陣，對所有的w，如果都有Aw=Bw，那麼是否意味着A=B。結果是顯然的。既然是所有的w，那麼我們用標準向量就可以得到A和B的每一列都是相同的，因此A=B。

3、線性方程組有解麼？

3.1 線性方程組

對於一個線性方程組，我們可以寫成矩陣和向量相乘的形式：

對於一個線性方程組，其解的情況可能是無解，有唯一解或者有無窮多個解。我們把所有的解的集合稱為 解集(solution set)

如果線性方程組有解，我們就稱其為 相容的(consistent) ，若無解，則稱為 不相容的(inconsistent) 。

3.2 線性組合Linear Combination

線性組合是一個操作，將各個向量縮放之後，相加在一起，就得到了參與操作的向量之間的線性組合。

所以線性方程組的問題可以轉變成：b是否可以表示成A中列向量的線性組合？

舉幾個例子：

通過觀察上面的例子，你可能會想，在二維平面中，是不是隻要兩個向量不平行，就一定有解？答案是肯定的，但有解時兩個向量不一定平行，因為目標向量也可能跟它們平行。

3.3 張成的空間Span

對於一個向量集S，其向量的所有線性組合組成的向量集V，稱為 Span(S) ，也被稱為 S張成的空間 。

舉幾個二維空間中的例子吧，如果S中只有零向量，那麼其張成的空間也只有零向量。

如果S中包含一個非零向量，那麼其張成的空間是一條直線：

如果一個向量集包含兩個不平行的非零向量，那麼其可以張成整個二維平面：

所以一個線性方程組的問題又可以轉換成兩一個等價的問題：向量b是否在A的列向量所張成的空間中？

4、線性方程組有多少個解

在上一節中，我們知道了如果b可以表示成A中列向量的線性組合或者b在A的列向量所張成的空間中，那麼線性方程組有解，否則無解。但是，有解的情況下是唯一解還是多個解呢？我們還不知道。

4.1 線性相關和線性無關

給定一個向量集，如果其中一個向量可以表示成其餘向量的線性組合，那麼我們就説這組向量是 線性相關(Linear Dependent) 的。值得注意的是，零向量是任意向量的線性組合，因此只要包含零向量的向量集，都是線性相關的。

線性相關還有另一種定義，即可以找到一組非全零的標量，使得線性組合為零向量。

與之相對應，如果無法找到一組非全零的標量，使得線性組合得到零向量，那麼這組向量就是 線性無關的(Linear Independent) ：

判斷向量集是線性無關還是線性相關，其實就是看一個 齊次方程(Homogeneous Equations) 有無非零解：

由此，對於Ax=b，我們可以得到兩個結論：如果A的列是線性相關的，且Ax=b有解，那麼，它有無窮多個解；如果Ax=b有無窮多個解，那麼A的列是線性相關的：

4.2 秩Rank

矩陣的秩(Rank) 定義為線性無關的列的最大數目：

矩陣的零化度(Nullity) 是矩陣的列數減去矩陣的秩：

也就是説，如果一個m*n的矩陣，其秩為n的話，它的列是線性無關的：

所以總結一下線性方程組的解的相關問題：

5、求解線性方程組

5.1 初等行變換

如果兩個線性方程組的解集是相同的，我們就稱它們是等價的(equivalent)。

對線性方程組做以下三種操作可以得到等價的方程組：

1）交換兩行

2）對其中一行變為k倍

3）將一行的k倍加到另一行上

上面的三種操作我們也稱為 初等行變換(elementary row operations)

這裏我們介紹一下 增廣矩陣(Augmented Matrix) ，即將A和b進行橫向拼接：

因此，通過初等行變換，如果我們能夠將增廣矩陣轉換為一個相對簡單的形式，那麼我們可以很快的得出最終的解。

5.2 簡化行階梯形式Reduced Row Echelon Form

我們首先介紹行階梯形式的矩陣，它滿足兩個條件，首先是非零行要在全零行的上面，其 先導元素(leading entries，每行的第一個非零元素) 按階梯型排列：

在上述兩個條件的基礎上，如果先導元素所在的列都是標準向量的話，那麼它就是 簡化行階梯形式Reduced Row Echelon Form ：

下面的矩陣不是簡化行階梯形式：

而下面的矩陣是簡化行階梯形式：

根據簡化行階梯形式，我們很容易得到線性方程組的解的形式。

如果簡化行階梯形式是[Ib']的，那麼線性方程組有唯一解：

下面的例子是有無窮多個解的情況，可以看到，第1、3、5列是包含先導元素的標準向量，其對應的變量也稱為基本變量，而第2、4個變量被稱為自由變量：

下面的例子是無解的情況，先導元素出現在了最後一列：

通過將增廣矩陣化簡為簡約行階梯形式，進而求解線性方程組解的方法，我們稱之為 高斯消元法(Gaussian Elimination)

接下來，我們來看一下簡約行階梯型形式的一些性質：

(1)化簡為簡約行階梯型形式之後，列之間的關係不變

也就是説， 初等行變換不改變矩陣中列之間的關係 。加入A的簡約行階梯形式是R，那麼Ax=0和Rx=0有相同的解集。

但是對於行來説，行階梯形式改變了行之間的關係，比如原先兩行是兩倍的關係，其中一行變為二倍之後，二者就相等了，關係自然改變了。

(2)簡約行階梯形式改變了矩陣列所張成的空間

舉個簡單的例子就能理解，假設一個矩陣是[[1,2],[2,4]]，它所張成的空間是y=2x，化簡後得到[[1,0],[0,0]]，此時所張成的空間卻是整個平面。但是沒有改變行所張成的空間。

(3)先導元素所在的列線性無關，其他列是這些列的線性組合

先導元素所在的列，在原矩陣中被稱為 主列(pivot columns) ,這些列是線性無關的，其他列可以有主列的線性組合得到。

(4) 矩陣的秩等於主列的個數，等於簡約行階梯型裏非0行的個數

根據這個性質，我們可以得到矩陣的秩的一個性質：

Rank(A) <= Min(Number of columns,Number of rows)

因為秩等於主列的個數，所以秩一定小於等於列的個數，因為秩等於簡約行階梯型中非零行的個數，所以秩一定小於等於矩陣行的個數。

有這個性質我們還可以得出兩個簡單的結論： 對於m*n的矩陣A，如果m<n，那麼矩陣A的列一定是線性相關的 和 在Rm空間中，無法找到多於m個線性無關的向量 。

所以我們再來回顧一下矩陣秩的判定，我們已經有多種得到矩陣秩的方式：

(5)當m*n的矩陣A的秩為m是，方程組Ax=b恆有解

對於增廣矩陣來説，如果變為簡約行階梯型後先導元素出現在了最後一列，則無解。

什麼情況下Ax=b恆有解呢？b是一個m*1的向量，也就是説矩陣A的列向量可以張成整個Rm空間，即A的秩為行數m，也就是A變成簡約行階梯型之後沒有全0行。

(6)m個線性無關的m維向量可以張成整個Rm空間，Rm空間中多於m個向量的向量集一定線性相關

5.3 滿秩

如果m*n的矩陣的秩為n或者m，那麼説該矩陣為 滿秩(Full Rank) 。

6、矩陣乘法

6.1 矩陣乘法的含義

給定兩個矩陣A和B，其相乘結果中的元素(i,j)是矩陣A的第i行和矩陣B的第j列的內積，因此，矩陣A的列數一定要個矩陣B的行數相等。

矩陣乘法可以看作是兩個線性方程的組合：

6.2 矩陣乘法的性質

(1) AB <>BA

(2)(AB)T= BTAT

(3)其他性質

(4)對角矩陣相乘

6.3 分塊矩陣乘法

分塊矩陣相乘和普通矩陣相乘其實是相同的：

7、逆矩陣

7.1 什麼是矩陣的逆

如果兩個方陣A和B的乘積是單位矩陣，AB=I，那麼A和B就是互為逆矩陣。

一個矩陣是 可逆的(invertible) 的，必須滿足兩個條件，首先要是方陣，其次是可以找到另一個方陣B，使得AB=I。

並不是所有的方陣都是可逆的。同時，一個矩陣的逆矩陣是唯一的 ：

逆矩陣可以用來求解一個線性方程組，但這種方法要求A是一個方陣，同時在計算上並不是十分有效率的：

7.2 初等矩陣

我們之前介紹了三種初等行變換，其實初等行變換都可以用矩陣相乘表示，這種左乘的矩陣被稱作 初等矩陣(Elementary Matrix) 。即單位矩陣經過一次初等變換得到的矩陣。

既然左乘一個初等矩陣相當於對單位矩陣做一次初等行變換，那麼只要再左乘一個相反操作的初等矩陣，就可以再次變回單位矩陣，所以初等矩陣的逆很容易得到：

回顧我們如何得到矩陣的簡約行階梯形式，用的就是初等行變換，因此我們可以用左乘初等矩陣的形式，來得到矩陣的簡約行階梯形式。

線性代數必備知識點

以下是考研數學線性代數主要考點的介紹：

一、向量與線性方程組

向量與線性方程組是整個線性代數部分的核心內容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎性章節，而其後兩章特徵值和特徵向量、二次型的內容則相對獨立，可以看作是對核心內容的擴展。

向量與線性方程組的內容聯繫很密切，很多知識點相互之間都有或明或暗的相關性。複習這兩部分內容最有效的方法就是徹底理順諸多知識點之間的內在聯繫，因為這樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時也是熟練掌握和靈活運用的前提。

這部分的重要考點一是線性方程組所具有的兩種形式——矩陣形式和向量形式；二是線性方程組與向量以及其它章節的各種內在聯繫。

（1）齊次線性方程組與向量線性相關、無關的聯繫

齊次線性方程組可以直接看出一定有解，因為當變量都為零時等式一定成立——印證了向量部分的一條性質“零向量可由任何向量線性表示”。

齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：1、有唯一零解；2、有非零解。當齊次線性方程組有唯一零解時，是指等式中的變量只能全為零才能使等式成立，而當齊次線性方程組有非零解時，存在不全為零的變量使上式成立；但向量部分中判斷向量組是否線性相關、無關的定義也正是由這個等式出發的。故向量與線性方程組在此又產生了聯繫——齊次線性方程組是否有非零解對應於係數矩陣的列向量組是否線性相關。可以設想線性相關、無關的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的。

（2）齊次線性方程組的解與秩和極大無關組的聯繫

同樣可以認為秩是為了更好地討論線性相關和線性無關而引入的。秩的定義是“極大線性無關組中的向量個數”。經過“秩-線性相關、無關-線性方程組解的判定”的邏輯鏈條，就可以判定列向量組線性相關時，齊次線性方程組有非零解，且齊次線性方程組的解向量可以通過r個線性無關的解向量（基礎解系）線性表示。

（3）非齊次線性方程組與線性表示的聯繫

非齊次線性方程組是否有解對應於向量是否可由列向量組線性表示，使等式成立的一組數就是非齊次線性方程組的解。

二、行列式與矩陣

行列式、矩陣是線性代數中的基礎章節，從命題人的角度來看，可以像潤滑油一般結合其它章節出題，因此必須熟練掌握。

行列式的核心內容是求行列式——具體行列式的計算和抽象行列式的計算。其中具體行列式的計算又有低階和高階兩種類型，主要方法是應用行列式的性質及按行（列）展開定理化為上下三角行列式求解；而對於抽象行列式而言，考點不在如何求行列式，而在於結合後面章節內容的比較綜合的題。

矩陣部分出題很靈活，頻繁出現的知識點包括矩陣各種運算律、矩陣相關的重要公式、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩的性質、初等矩陣的性質等。

三、特徵值與特徵向量

相對於前兩章來説，本章不是線性代數這門課的理論重點，但卻是一個考試重點。其原因是解決相關題目要用到線代中的大量內容——既有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關性，“牽一髮而動全身”。

本章知識要點如下：

1.特徵值和特徵向量的定義及計算方法就是記牢一系列公式和性質。

2.相似矩陣及其性質，需要區分矩陣的相似、等價與合同：

3.矩陣可相似對角化的條件，包括兩個充要條件和兩個充分條件。充要條件一是n階矩陣有n個線性無關的特徵值二是任意r重特徵根對應有r個線性無關的特徵向量。

4.實對稱矩陣及其相似對角化，n階實對稱矩陣必可正交相似於以其特徵值為對角元素的對角陣。

四、二次型

這部分所講的內容從根本上講是特徵值和特徵向量的一個延伸，因為化二次型為標準型的核心知識為“對於實對稱矩陣，必存在正交矩陣使其可以相似對角化”，其過程就是上一章相似對角化在為實對稱矩陣時的應用。

這四個方面是歷年考研數學線代部分的重點，希望考生以此為重點，由點及面，複習好線性代數這部分。