基數是什麼意思？

一、二、三、…十、…百、…千、…萬等普通整數；作為計算標準或起點的數目。

基數（cardinal number）在數學上，是集合論中刻畫任意集合大小的一個概念。兩個能夠建立元素間一一對應的集合稱為互相對等集合。例如3個人的集合和3匹馬的集合可以建立一一對應，是兩個對等的集合。

稱兩個集M與N為有相同基數，即|M|=|N|，若存在雙射φ:M→N。且|M|≤|N|，若存在單射φ:M→N。

根據對等這種關係對集合進行分類，凡是互相對等的集合就劃入同一類。這樣，每一個集合都被劃入了某一類。任意一個集合A所屬的類就稱為集合A的基數，記作|A|（或cardA)。這樣，當A 與B同屬一個類時，A與B 就有相同的基數，即|A|=|B|。而當 A與B不同屬一個類時，它們的基數也不同。

如果把單元素集的基數記作1，兩個元素的集合的基數記作2，等等，則任一個有限集的基數就與通常意義下的自然數一致 。空集的基數也記作0。於是有限集的基數也就是傳統概念下的“個數”。但是，對於無窮集，傳統概念沒有個數，而按基數概念，無窮集也有基數，例如，任一可數集（也稱可列集）與自然數集N有相同的基數，即所有可數集是等基數集。不但如此，還可以證明實數集R與可數集的基數不同。所以集合的基數是個數概念的推廣。

基數可以比較大小。假設A，B的基數分別是a，β，即|A|=a，|B|=β，如果A與B的某個子集對等，就稱 A 的基數不大於B的基數，記作a≤β，或β≥a。如果 a≤ β，但a≠β（ 即A與B不對等 ），就稱A的基數小於B的基數，記作a<β，或β>a。在承認選擇公理的情況下，可以證明基數的三歧性定理——任何兩個集合的基數都可以比較大小，即不存在集合A和B，使得A不能與B的任何子集對等，B也不能與A的任何子集對等。

基數可以進行運算 。設|A|=a ，|B|=β，定義 a+β=|{(a,0):a ∈ A} ∪ {(b,1):b ∈ B}|。另，a與β的積規定為|AxB|，A×B為A與B的笛卡兒積。

對每一個基數，存在一個最小比它大的基數。這在自然數當然是對的。自然數集的基數是 ，康托爾稱下一個是 ，相類似的，還定義瞭如下一個序列：

注意 。連續統假設猜想，就是 。

連續統假設是與一般集論公理（即Zermelo-Fraenkel 公理系統加上選擇公理）獨立的。

更一般的假設，即 。

廣義連續統假設，就是對所有無窮基數 ，都不存在界乎 與 之間的基數。