拋物線焦點弦公式

拋物線焦點弦公式是什麼？

焦點弦公式2p/sina^2。

拋物線是指平面內與一定點和一定直線（定直線不經過定點）的距離相等的點的軌跡，其中定點叫拋物線的焦點，定直線叫拋物線的準線。它有許多表示方法，例如參數表示，標準方程表示等等。 它在幾何光學和力學中有重要的用處。 拋物線也是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平行於某條母線的平面相截而得的曲線。拋物線在合適的座標變換下，也可看成二次函數圖像。

在數學中，拋物線是一個平面曲線，它是鏡像對稱的，並且當定向大致為U形（如果不同的方向，它仍然是拋物線）。它適用於幾個表面上不同的數學描述中的任何一個，這些描述都可以被證明是完全相同的曲線。

拋物線的一個描述涉及一個點（焦點）和一條線（準線）。焦點並不在準線上。拋物線是該平面中與準線和焦點等距的點的軌跡。拋物線的另一個描述是作為圓錐截面，由圓錐形表面和平行於錐形母線的平面的交點形成。第三個描述是代數。

焦點弦：

焦點弦是指橢圓、雙曲線或者拋物線上經過一個焦點的弦。焦點弦是由兩個在同一條直線上的焦半徑構成的，焦點弦長就是這兩個焦半徑長之和。連接圓錐曲線上任意兩點得到的線段叫做圓錐曲線的弦。若這條弦經過焦點，則稱為焦點弦。焦點弦也可以看成由同一直線上的兩條焦半徑構成。

拋物線焦點弦長公式是什麼?

焦點弦公式2p/sina^2。

證明：設拋物線為y^2=2px(p>0)，過焦點f(p/2，0)的弦直線方程為y=k(x-p/2)，直線與拋物線交於a（x1，y1)，b(x2，y2)。

聯立方程得k^2(x-p/2)^2=2px，整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0，所以，x1+x2=p(k^2+2)/k^2。

由拋物線定義，af=a到準線x=-p/2的距離＝x1+p/2，bf=x2+p/2。

所以：

ab

=x1+x2+p

=p(1+2/k^2+1)

=2p(1+1/k^2)

=2p(1+cos^2/sin^2a)

=2p/sin^2a

拋物線四種方程的異同

一、共同點：

①原點在拋物線上，離心率e均為1。

②對稱軸為座標軸。

③準線與對稱軸垂直，垂足與焦點分別對稱於原點，它們與原點的距離都等於一次項係數的絕對值的1/4。

二、不同點：

①對稱軸為x軸時，方程右端為±2px，方程的左端為y^2；對稱軸為y軸時，方程的右端為±2py，方程的左端為x^2。

②開口方向與x軸（或y軸）的正半軸相同時，焦點在x軸（y軸）的正半軸上，方程的右端取正號；開口方向與x（或y軸）的負半軸相同時，焦點在x軸（或y軸）的負半軸上，方程的右端取負號。

拋物線焦點弦長公式是什麼？如何求解？

焦點弦長公式推導過程如下：

焦點弦公式2p/sina^2證明：

設拋物線為y^2=2px(p>0)，過焦點F(p/2，0)的弦直線方程為y=k(x-p/2)，直線與拋物線交於A（x1，y1)，B(x2，y2)

聯立方程得k^2(x-p/2)^2=2px，

整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0所以x1+x2=p(k^2+2)/k^2

由拋物線定義，AF=A到準線x=-p/2的距離=x1+p/2， BF=x2+p/2

所以AB=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a

擴展公式

拋物線：y = ax1 + bx + c （a≠0）。

就是y等於ax 的平方加上 bx再加上 c。

a >0時開口向上。

a <0時開口向下。

c = 0時拋物線經過原點。

b = 0時拋物線對稱軸為y軸。

還有頂點式y = a（x-h）1 + k。

h是頂點座標的x。

k是頂點座標的y。

一般用於求最大值與最小值。

拋物線標準方程：y1=2px。

它表示拋物線的焦點在x的正半軸上，焦點座標為（p/2，0） 準線方程為x=-p/2。

由於拋物線的焦點可在任意半軸，故共有標準方程y1=2px，y1=-2px，x1=2py，x1=-2py。

拋物線求焦點弦公式是什麼？

焦點弦公式2p/sina^2

證明：設拋物線為y^2=2px(p>0),過焦點f(p/2,0)的弦直線方程為y=k(x-p/2),直線與拋物線交於a（x1,y1),b(x2,y2)

聯立方程得k^2(x-p/2)^2=2px,整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0

所以x1+x2=p(k^2+2)/k^2

由拋物線定義，af=a到準線x=-p/2的距離＝x1+p/2,

bf=x2+p/2

所以ab=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a

拋物線有關切線、法線的幾何性質

1、設拋物線上一點P的切線與準線相交於Q，F是拋物線的焦點，則PF⊥QF。且過P作PA垂直於準線，垂足為A，那麼PQ平分∠APF。

2、過拋物線上一點P作準線的垂線PA，則∠APF的平分線與拋物線切於P。從這條性質可以得出過拋物線上一點P作拋物線的切線的尺規作圖方法。

3、設拋物線上一點P（P不是頂點）的切線與法線分別交軸於A、B，則F為AB中點。這個性質可以推出拋物線的光學性質，即經焦點的光線經拋物線反射後的光線平行於拋物線的對稱軸。各種探照燈、汽車燈即利用拋物線（面）的這個性質，讓光源處在焦點處以發射出（準）平行光。

4、設拋物線上除頂點外的點P的切線交軸於A，交頂點O的切線於B，則FB垂直平分PA，且FB與準線的交點M恰好是P在準線上的射影（即PM垂直於準線）。