雙曲線的定義是什麼

定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線，還可以定義為與兩個固定的點（叫做焦點）的距離差是常數的點的軌跡。這個固定的距離差是a的兩倍，這裏的a是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點的距離。

a還叫做雙曲線的實半軸。

焦點位於貫穿軸上，它們的中間點叫做中心，中心一般位於原點處。在數學中，雙曲線（多重雙曲線或雙曲線）是位於平面中的一種平滑曲線，由其幾何特性或其解決方案組合的方程定義。雙曲線有兩片，稱為連接的組件或分支，它們是彼此的鏡像，類似於兩個無限弓。雙曲線是由平面和雙錐相交形成的三種圓錐截面之一。

（其他圓錐部分是拋物線和橢圓，圓是橢圓的特殊情況）如果平面與雙錐的兩半相交，但不通過錐體的頂點，則圓錐曲線是雙曲線。作為在笛卡爾平面中表示函數的曲線；作為日後的陰影的路徑；作為開放軌道（與閉合的橢圓軌道不同）的形狀，例如在行星的重力輔助擺動期間航天器的軌道，或更一般地，超過最近行星的逃逸速度的任何航天器；作為一個單一的彗星（一個旅行太快無法回到太陽系）的路徑；作為亞原子粒子的散射軌跡（以排斥而不是吸引力作用，但原理是相同的）；在無線電導航中，當距離到兩點之間的距離而不是距離本身可以確定時，等等。雙曲線的每個分支具有從雙曲線的中心進一步延伸的更直（較低曲率）的兩個臂。

對角線對面的手臂，一個從每個分支，傾向於一個共同的線，稱為這兩個臂的漸近線。所以有兩個漸近線，其交點位於雙曲線的對稱中心，這可以被認為是每個分支反射以形成另一個分支的鏡像點。在曲線的情況下，漸近線是兩個座標軸。

雙曲線共享許多橢圓的分析屬性，如偏心度，焦點和方向圖。許多其他數學物體的起源於雙曲線，例如雙曲拋物面（鞍形表面），雙曲面（“垃圾桶”），雙曲線幾何（Lobachevsky的着名的非歐幾里德幾何），雙曲線函數（sinh，cosh，tanh等）和陀螺儀矢量空間（提出用於相對論和量子力學的幾何，不是歐幾里得）。雙曲線的通徑是過焦點，垂直於實軸的弦，通徑有兩條，長為2b²/a。

橢圓方程為x²/a²+y²/b²=1，所以得到y=±b²/a，而通徑是正負的兩段長度加起來，所以是2b²/a。橢圓、雙曲線的通徑長均為|AB|=2b^2/a(其中a是長軸或實軸的1/2,b是短軸或虛軸的1/2,不論橢圓或雙曲線的焦點在x軸還是y軸都有這個結論）拋物線的通徑長為|AB|=4p（其中p為拋物線焦準距的1/2）過焦點的弦中，通徑是最短的這個結論只對橢圓和拋物線適用,對雙曲線須另外討論如果雙曲線的離心率e>根號2,則過焦點的弦以實軸為最短,即最短的焦點弦為2a如果雙曲線的離心率e=根號2,則通徑與實軸等長,它們都是最短的焦點弦，如果雙曲線的離心率0a>0時,|MN|=2ab^2(k^2+1)/[(bk)^2+a^2]。