什麼是突變理論

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20世紀70年代發展起來的一個新的數學學科。一種自然現象或一個技術過程，在發展變化過程中常常會從一個狀態跳躍式地變到另一個狀態，或者説經過一段時間緩慢的連續的變化之後，在一定的外界條件下，會產生一種不連續的變化，這就是所謂的突變現象。這類突變現象在大自然裏以及在技術過程中都是普遍存在的。例如，一定質量的氣體在一定的温度和壓力之下會變成液體，天氣的突然變化會產生暴風雨，地殼的劇烈運動會引起地震，橋樑的扭曲會導致斷裂，容器裏的幾種物質在一定的外界條件下會發生化學反應，胚胎的發育，等等，這些現象都是突變現象。以前科學家們在研究這類突變現象時遇到了各式各樣的困難，其中主要困難之一就是缺乏恰當的數學工具來提供描述它們的數學模型。1969年法國數學家R.託姆在他的題為《生物學中的拓撲模型》一文中，首次在奇點分類的基礎上提出了一個描述突變現象的數學模型。稍後，他在著名的《結構穩定與形態發生》一書中又系統地闡述了他的思想，這就是現在人們所稱的突變理論。

澤曼機是E.C.澤曼為闡述突變理論而構造的一個力學例子。D是一個半徑為1的圓盤，它可以圍繞xy平面的原點O自由轉動。A是xy平面上的一個固定點，AO的長為3，B是圓盤上的一個固定點，取兩條長度為1的彈性帶子，把其中的一條的一端固定在點A，另一端固定在圓盤上的點B處；另一條彈性帶子的一端固定在B處，另一端C在平面上自由移動。當點C在平面上連續變動時，只要BC的長度大於1，那麼在彈性力的作用下，一般説來，圓盤是跟着C點的移動而連續地轉動。在實驗中發現，當C移動到某些點時，圓盤會從一個狀態跳躍到另一個狀態，發生了不連續的變化即突變。通過實驗就可以看到這種突變點構成一條如圖1

所示的尖點狀的曲線。對這樣一個力學系統的運動，取直線OA為y軸，首先找出刻畫圓盤狀態的參數，可以用OB與OA的夾角θ來刻畫圓盤的狀態並稱θ為狀態參數，或稱內參數。點C的運動控制着圓盤的運動，所以點C的座標(x，y)就稱為控制參數或外參數。由胡克定律可知，這個力學系統有個勢函數。當兩條彈性帶子的長度分別為l1、l2時，它們的總勢能為V=(l1-1)2+(l2-1)2，式中l1=AB，l2=BC，將

代入V，可以看出V是θ、x、y的函數。由極小勢能原理可知，當點C的座標為(x0，y0)時，圓盤狀態θ0應使V(θ0，x0，y0)為勢函數V(θ，x，y)的極小值。也就是説，這個力學系統的狀態(θ，x，y)應滿足方程式

。在三維空間(θ，x，y)∈R3中，方程式

確定一曲面，記作MV並稱它為狀態曲面或突變流形。它上面的點代表這個力學系統的一個狀態。從奇點理論研究的結果知道，可以選取適當的座標 (φ，u，υ)使得函數V在新座標系中有很簡單的分析表達式：

而狀態曲面MV由方程

所決定。這個曲面圖形如圖2

所示。幾何上曲面MV是這樣描述力學系統運動的:為了使圖看起來清晰，把u，υ平面沿φ軸向下平移一個距離，ⅹV表示MV到(u，υ)平面的垂直投影，曲面MV的兩條摺疊線在ⅹV下的像是一條尖點曲線α，給定一點p0(u0，υ0)，圓盤的狀態φ0應該使

，

即 (φ0，u0，υ0)是曲面MV上的一點 Q0，亦即通過點(u0，υ0)平行於φ軸的直線與MV的交點就是

。當控制參數p＝(u，υ)在平面上沿一條曲線從p0連續地變到p1，p2時，相應的代表系統狀態的點Q就從Q0連續地沿着曲面上一條曲線變到Q1，Q2。但當點p通過曲線上的點p3時，相應的代表系統狀態的點Q就從曲面的摺疊處（懸崖上）掉到曲面的下面一葉上的點Q3，這就是代表系統狀態的點Q產生了不連續的跳躍，即描述了系統的突變運動。曲線α具有重要性質:當控制參數(u，υ)穿過它時，系統狀態產生突變。曲線α看作點集並稱為突變集，而ⅹV稱為突變映射。研究一下曲面MV和映射ⅹV:MV→R2就可以看到曲線α就是映射ⅹV的奇點集在ⅹV下的像。因此，若要找突變集，首先是要求出ⅹV的奇點集。

由這個力學的實例可以概括出研究突變現象的數學方法：

（1）確定刻畫系統狀態的參數 (x1，x2，…，xn)及系統的控制參數(u1，u2，…，ur)。在上例中就是確定出刻畫圓盤的狀態的參數θ以及控制參數(x，y)。

（2）確定支配系統的勢函數p(x1，x2，…，xn;u1，u2，…，ur)在控制參數為（u1，u2，…，ur）時系統的平衡態(x1，x2，…，xn)使得勢函數p取極小值，在上例中就是找出系統的彈性勢能V(θ，x，y)。