一元三次方程怎麼解

卡爾丹公式法；盛金公式法；因式分解法。一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到，即根據一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式。

只含有一個未知數（即“元”），並且未知數的最高次數為3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：cubic equation of one unknown）。

一元二次方程的標準形式（即所有一元一次方程經整理都能得到的形式）是ax^3+bx^2+cx+d=0（a，b，c，d為常數，x為未知數，且a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡爾丹公式法與盛金公式法。兩種公式法都可以解標準型的一元三次方程。由於用卡爾丹公式解題存在複雜性，相比之下，盛金公式解題更為直觀，效率更高。

若用A、B換元后，公式可簡記為：x1=A^(1/3)+B^(1/3)；x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。當△=(q/2)^2+(p/3)^3>0時，有一個實根和一對個共軛虛根；當△=(q/2)^2+(p/3)^3=0時，有三個實根，其中兩個相等；當△=(q/2)^2+(p/3)^3<0時，有三個不相等的實根。一元三次方程有三種解法，包括卡爾丹公式法、盛金公式法和因式分解法。

簡單地說就是公式法和因式分解法。和一元二次方程的解法中的公式法和因式分解法有相似之處，公式法適用於一切方程，而因式分解法一般只適用於存在有理數根的方程。當然三次方程應用因式分解法的主要目的是為了降次，因此它也有可能在存在無理根或複數根時使用因式分解法。

我們平時用得比較多的還是因式分解法。比如x^3-1=0或x^3+1=0，都有因式分解的公式可以直接應用。前者得到(x-1)(x^2+x+1)=0，後者得到(x+1)(x^2-x+1)=0. 由此得到方程的一個有理根和一對共軛虛根。

當然，這裡的1可以換成任意實數，因為任意實數都可能寫成一個數的三次方。對於標準型的一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a，b，c，d∈R，且a≠0)，以上所舉的例子屬於a=1, b=0, c=0的特殊形式。當b,c至少有一個不等於0時，一元三次方程就不一定能分解出一個有理根。所以因式分解法並不一定適用於所有一元三次方程。

這時候如果想要使用因式分解法，就必須滿足存在有理根的條件，否則很難因式分解。比如三次方程：x^3+x^2-x+2=0，通過觀察，我們可以用多項式x^3+x^2-x+2除以x+2，就得到x^2-x+1，因此可以用因式分解法得到(x+2)(x^2-x+1)=0，同樣可以得到一個實根x=-2，和兩個共軛虛根。但是三次方程x^3+x^2-x+1=0就無法應用因式分解法了。這時候就要用公式法。

卡爾丹公式法相對比較複雜，而盛金公式法就簡單得多。純講知識的內容既乾枯燥又難懂，因此接下來就對這個方法，分別運用兩個公式，做一個演示，希望能你從演示的過程中得到啟發，學會這兩種公式法。三次方程x^3+x^2-x+1=0中，a=1, b=1, c=-1，d=1. 令x=y-b/(3a)=y-1/3代入方程，得到：(y-1/3)^3+(y-1/3)^2-(y-1/3)+1=0，化簡得y^3-4y/3+38/27=0. 這是特殊型的一元三次方程y^3+py+q=0(p,q∈R). 其中p=-4/3, q=38/27.接下來求卡爾丹判別式：△=(q/2)^2+(p/3)^3=361/729-64/729=11/27. 當Δ>0時，方程有一個實根和一對共軛虛根；當Δ=0時，方程有三個實根，其中有一個兩重根；當Δ<0時，方程有三個不相等的實根。這裡屬於第二種情形。

u=三次根號內(-q/2+根號(△))=三次根號內(-19/27+根號(11/27))=三次根號內(-19+3倍根號33)/3, v=三次根號內(-19-3倍根號33)/3.而方程的實根y1=u+v. 兩個共軛虛根分別是y2=wu+w^2v和y3=w^2u+wv，其中w=(-1+根號3 i)/2. 把u,v代入耐心求解就可以得到y的三個解。最後還要代入x=y-1/3，求得x的三個解。

一元三次方程怎麼解?

一元三次方程的解法如下：有的一元三次方程，一邊是零，另一邊可以化為三個一次的含有未知數的式子，我們可以把方程化為三個一次式子，再令每個因式分別為零，最後解得這個方程的三個根。一元三次方程，一般含有三個根。

希望我能幫助你解疑釋惑。

怎麼解一元三次方程

一元三次方程的求根公式稱為“卡爾丹諾公式”。 一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0 。

如作一個橫座標平移y=x+s/3，那麼就可以把方程的二次項消去。

所以只要考慮形如 x3=px+q 的三次方程。例子：假設方程的解x可以寫成x=a-b的形式，這裡a和b是待定的引數。 代入方程a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q整理得到a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q由二次方程理論可知，一定可以適當選取a和b，使得在x=a-b的同時， 3ab+p=0。這樣上式就成為 a3-b3=q 兩邊各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3 。

由p=-3ab可知 ，27a6 + p = 27qa3 這是一個關於a3的二次方程，所以可以解得a。擴充套件資料含有二次項但不含有一次項的一元三次方程，經過代換後可以消掉二次項，但是卻會冒出一次項出來。對於三次多項式，配立方，其結果除了完全立方項，後面既可以有常數項，也可以有一次項。

一個自然的想法就是如何將一般的三次方程化為不帶二次項的三次方程。

一元三次方程怎麼解決

一元三次方程的標準形式為ax^3+bx^2+cx+d=0，將方程兩邊同時除以最高項係數a,三次方程變為x^3+bx^2/a+cx/a+d/a=0,所以三次方程又可簡寫為x^3+bx^2+cx+d=0．一元三次方程解法思想是：通過配方和換元，使三次方程降次為二次方程求解．拓展資料:只 含有一個 未知數（即“元”），並且未知數的最高次數為3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：one variable cubic equation）。一元三次方程的標準形式（即所有一元三次方程經整理都能得到的形式）是 ax 3+ bx 2+ cx+ d=0（ a， b， c， d為 常數， x為未知數，且 a≠0）。

一元三次方程的公式解法有卡爾丹公式法與盛金公式法。

兩種公式法都可以解標準型的一元三次方程。由於用卡爾丹公式解題存在複雜性，相比之下，盛金公式解題更為直觀， 效率更高。

一元三次方程解法步驟

一元三次方程的公式解法有：1、義大利學者卡爾丹於1545年發表的卡爾丹公式法；2、中國學者範盛金於1989年發表的盛金公式法。兩種公式法都可以解標準型的一元三次方程。

用卡爾丹公式解題方便，相比之下，盛金公式雖然形式簡單，但是整體較為冗長，不方便記憶，但是實際解題更為直觀。

卡爾丹公式法:特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0(p、q∈R)。判別式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3。卡爾丹公式X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)；X2=(Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2；X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω，其中ω=(－1+i3^(1/2))/2；Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。標準型一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

令X=Y—b/(3a)代入上式。可化為適合卡爾丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。卡爾丹判別法:當Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0時，方程有一個實根和一對共軛虛根；當Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0時，方程有三個實根，其中有一個兩重根；當Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0時，方程有三個不相等的實根。

一元三次方程的解法是怎麼樣的？

一元三次方程的求根公式稱為“卡爾丹諾公式”，一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0 ，如作一個橫座標平移y=x+s/3，那麼就可以把方程的二次項消去。所以只要考慮形如 x3=px+q的三次方程。

 例子：假設方程的解x可以寫成x=a-b的形式，這裡a和b是待定的引數。

代入方程：a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q整理得到：a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q由二次方程理論可知，一定可以適當選取a和b，使得在x=a-b的同時， 3ab+p=0。這樣上式就成為 a3-b3=q 兩邊各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3。由p=-3ab可知 ，27a6 + p = 27qa3，這是一個關於a3的二次方程，所以可以解得a。解方程依據1、移項變號：把方程中的某些項帶著前面的符號從方程的一邊移到另一邊，並且加變減，減變加，乘變除以，除以變乘。

2、等式的基本性質：（1）等式兩邊同時加(或減)同一個數或同一個代數式，所得的結果仍是等式。用字母表示為：若a=b，c為一個數或一個代數式。（2）等式的兩邊同時乘或除以同一個不為0的數，所得的結果仍是等式。

用字母表示為：若a=b，c為一個數或一個代數式（不為0）。

一元三次方程怎麼解？

郭敦榮回答：一元三次方程求根公式：標準型的一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0(a，b，c，d∈R，且a≠0)，其解法有:1、義大利學者卡爾丹於1545年發表的卡爾丹公式法;2、中國學者範盛金於1989年發表的盛金公式法。兩種公式法都可以解標準型的一元三次方程。

用卡爾丹公式解題方便，相比之下，盛金公式雖然形式簡單，但是整體較為冗長，不方便記憶，但是實際解題更為直觀。

公式法(卡爾丹公式)(如右圖所示)若用A、B換元后，公式可簡記為:x1=A^(1/3)+B^(1/3);x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2;x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。摺疊判別法當△=(q/2)^2+(p/3)^3>0時，有一個實根和一對個共軛虛根;當△=(q/2)^2+(p/3)^3=0時，有三個實根，其中兩個相等;當△=(q/2)^2+(p/3)^3<0時，有三個不相等的實根。摺疊推導第一步:ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)為了方便，約去a得到x^3+kx^2+mx+n=0令x=y-k/3，代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0，(y-k/3)^3中的y^2項係數是-k ，k(y-k/3)^2中的y^2項係數是k ，所以相加後y^2抵消，得到y^3+py+q=0，其中p=-k^2/3+m，q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。第二步:方程x^3+px+q=0的三個根為:x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)++[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3);x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)++w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3);x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)++w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，其中w=(-1+i√3)/2。

×推導過程:1、方程x^3=1的解為x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2;2、方程x^3=A的解為x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2，3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),兩邊同時除以a,可變成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。再令x=y-s/3,代入可消去次高項，變成x^3+px+q=0的形式。設x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得:(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0①，如果u和v滿足uv=-p/3,u^3+v^3=-q則①成立，由一元二次方程韋達定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的兩個根。

解之得，y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，不妨設A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，則u^3=A;v^3=B，u=A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2;v=B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2，但是考慮到uv=-p/3，所以u、v只有三組解:u1=A^(1/3)，v1=B^(1/3);u2=A^(1/3)ω，v2=B^(1/3)ω^2;u3=A^(1/3)ω^2，v3=B^(1/3)ω，最後:方程x^3+px+q=0的三個根也出來了，即x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3);x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2;x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。一元三次方程x^3+px+q=0，(p，q∈R)的求根公式是1545年由義大利學者卡爾丹發表在《關於代數的大法》一書中，人們就把它叫做卡爾丹公式(有的數學資料叫"卡丹公式")。可是事實上，發現公式的人並不是卡爾丹(卡丹)本人，而是塔塔利亞(Tartaglia N.，約1499~1557)。

發現此公式後，曾據此與許多人進行過解題競賽，他往往是勝利者，因而他在義大利名聲大震。醫生兼數學家卡丹得知塔塔利亞總是獲勝的訊息後，就千方百計地找塔塔利亞探聽他的祕密。當時學者們通常不急於把自己所掌握的祕密向周圍的人公開，而是以此為祕密武器向別人挑戰比賽，或等待懸賞應解，以獲取獎金。

儘管卡爾丹千方百計地想探聽塔塔利亞的祕密，但是在很長時間中塔塔利亞都守口如瓶。可是後來，由於卡丹一再懇切要求，而且發誓對此保守祕密，於是塔塔利亞在1539年把他的發現寫成了一首語句晦澀的詩告訴了卡丹，但是並沒有給出詳細的證明。卡丹並沒有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的藝術》一書中向世人公開了這個解法。他在此書中寫道:"這一解法來自於一位最值得尊敬的朋友--布里西亞的塔塔利亞。

塔塔利亞在我的懇求之下把這一方法告訴了我，但是他沒有給出證明。我找到了幾種證法。證法很難，我把它敘述如下。"從此，人們就把一元三次方程的求根公式稱為卡丹公式。

塔塔利亞知道卡丹把自己的祕密公之於眾後，怒不可遏。按照當時人們的觀念，卡丹的做法無異於背叛，而關於發現法則者是誰的附筆只能被認為是一種公開的侮辱。於是塔塔利亞與卡丹在米蘭市的教堂進行了一場公開的辯論。許多資料都記述過塔塔利亞與卡丹在一元三次方程求根公式問題上的爭論，可是，名為卡丹公式的一元三次方程的求解方法，確實是塔塔利亞發現的;卡丹沒有遵守誓言，因而受到塔塔利亞及許多文獻資料的指責，卡丹錯有應得，但是卡丹在公佈這一解法時並沒有把發現這一方法的功勞歸於自己，而是如實地說明了這是塔塔利亞的發現，所以算不上剽竊;而且證明過程是卡丹自己給出的，說明卡丹也做了工作。

卡丹用自己的工作對塔塔利亞洩露給他的祕密加以補充，違背誓言，把祕密公之於世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人類探索一元n次方程根式解法的程序。不過，公式的名稱，還是應該稱為方塔納公式或塔塔利亞公式;稱為卡丹公式是歷史的誤會。一元三次方程應有三個根。

塔塔利亞公式給出的只是一個實根。又過了大約200年後，隨著人們對虛數認識的加深，到了1732年，才由瑞士數學家尤拉找到了一元三次方程三個根的完整的表示式。塔爾塔利亞是義大利人，出生於1500年。

他12歲那年，被入侵的法國兵砍傷了頭部和舌頭，從此說話結結巴巴，人們就給他一個綽號"塔爾塔利亞"(在義大利語中，這是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了，他自學成才，成了數學家，宣佈自己找到了三次方程的的解法。有人聽了不服氣，來找他較量，每人各出30道題，由對方去解。結果，塔爾塔利亞30道三次方程的解全做了出來，對方卻一道題也沒做出來。塔爾塔利亞大獲全勝。

這時，義大利數學家卡丹出場，請求塔爾塔利把解方程的方法告訴他，可是遭到了拒絕。後來卡丹對塔爾塔利假裝說要推薦他去當西班牙炮兵顧問，並稱自己有許多發明，唯獨無法解三次方程而內心痛苦。還發誓，永遠不洩漏塔爾塔利亞解一元三次方程式的祕密。

塔爾塔利亞這才把解一元三次方程的祕密告訴了卡丹。六年以後，卡丹不顧原來的信約，在他的著作《關於代數的大法》中，將經過改進的三次方程的解法公開發表。後人就把這個方法叫作卡丹公式，塔爾塔利亞的名字反而被湮沒了，正如他的真名在口吃以後被埋沒了一樣。塔爾塔利亞對卡丹的背信行為非常惱怒，互相寫信指罵對方。

最終在一個不明的夜晚，卡丹派人祕密刺殺了塔爾塔利亞。至於一元四次方程ax^4+bx^3 +cx^2 +dx+e=0求根公式由卡丹的學生費拉里找到了。關於三次、四次方程的求根公式，因為要涉及複數概念，複數是指能寫成如下形式的數a+bi,這裡a和b是實數，i是虛數單位(即-1開根)。

由義大利米蘭學者卡當在十六世紀首次引入，經過達朗貝爾、棣莫弗、尤拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數學家所接受。複數有多種表示法，諸如向量表示、三角表示，指數表示等。它滿足四則運算等性質。它是複變函式論、解析數論、傅立葉。